1． 已知m、n是兩條不重合的直線，α、β、γ是三個(gè)兩兩不重合的平面．給出下列的四個(gè)命題：

①若，，則；②若，，則；③若，，，則；

④若m、n是異面直線，，，，，則，其中真命題是

　　 　 A.①和②　　 B.①和③　 C.③和④　　　 D.①和④

2．(北京卷)平面的斜線交于點(diǎn)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線與垂直，且交于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是　 　　

(A)一條直線　 (B)一個(gè)圓(C)一個(gè)橢圓(D)雙曲線的一支

3．(湖北卷)關(guān)于直線與平面，有以下四個(gè)命題：①若且，則；②若且，則；③若且，則；④若且，則；其中真命題的序號(hào)是　　

A．①②　 　　　　B．③④　　 　　C．①④　 　　　D．②③

4．(上海卷)若空間中有四個(gè)點(diǎn)，則“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”是“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面上”的　 ( )

(A)充分非必要條件；(B)必要非充分條件；(C)充要條件；(D)非充分非必要條件

5.(上海卷)如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是 　　　　　　　　?。?/p>

6. 在正四面體P－ABC中，D，E，F分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是(　 )

　(A)BC//平面PDF　 (B)DF⊥平面PA E

(C)平面PDF⊥平面ABC　 (D)平面PAE⊥平面 ABC

7.給出下列關(guān)于互不相同的直線和平面的四個(gè)命題:

①　　 則與m不共面；、m是異面直線，；

②　　 若；若，則

其中為假命題的是　　　　　　 　　　　　　　　(C)

(A)①　 (B)②　 (C)③　 (D)④

8．已知a、b、c是直線，是平面，給出下列命題：①若②若

③若；④若a與b異面，且相交；　 ⑤若a與b異面，則至多有一條直線與a，b都垂直.　 其中真命題的個(gè)數(shù)是(　　 )　　　　　

A．1　 　B．2　　　　　　　　 C．3　　　　　　　　　　　　　 D．4

9．.(全國II)如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α、β所成的角分別為和，過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′，則AB∶A′B′＝

(A)2∶1　　 (B)3∶1　　 (C)3∶2　　 (D)4∶3

[典型考例]例1．(P₇₅例3)

例1.如圖, 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，AB=5點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，(I)求證：AC⊥BC₁；

(II)求證：AC ₁//平面CDB₁；　

(III)設(shè)BD₁的中點(diǎn)為F，求三棱錐B₁-BEF的體積

例2．已知ABCD是上．下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對(duì)稱軸OO₁折成直二面角(Ⅰ)證明：AC⊥BO₁；(Ⅱ)求點(diǎn)O₁到平面AOC的距離。(III)求四面體O₁-ACO的體積。

例3.如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，，平面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn).(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)求證：平面；(Ⅲ)求四面體B-AED的體積。

例4．(2006湖北文文修改)如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱長和底面邊長均為1，M是底面BC邊上的中點(diǎn)，N是側(cè)棱CC₁上的點(diǎn)。(Ⅰ)當(dāng)B₁M⊥AN時(shí)，求CN的長度；(Ⅱ)若CN=時(shí)，求點(diǎn)B₁到平面AMN的距離。

[考點(diǎn)聚焦]

考點(diǎn)1：空間元素點(diǎn)、線、面之間的垂直與平行關(guān)系的判斷；

考點(diǎn)2：空間線面垂直與平行關(guān)系的證明；簡(jiǎn)單幾何體中的線面關(guān)系證明；

[考點(diǎn)小測(cè)]

1．已知m、n是兩條不重合的直線，α、β、γ是三個(gè)兩兩不重合的平面．給出下列的四個(gè)命題：　　 ①若，，則；②若，，則；③若，，，則；

④若m、n是異面直線，，，，，則，其中真命題是

　　 　 A.①和②　　 B.①和③　　　 C.③和④　　　 D.①和④

2．(北京卷)平面的斜線交于點(diǎn)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線與垂直，且交于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是　　 　

(A)一條直線　 (B)一個(gè)圓(C)一個(gè)橢圓　　　　 (D)雙曲線的一支

3．(湖北卷)關(guān)于直線與平面，有以下四個(gè)命題：①若且，則；②若且，則；③若且，則；④若且，則；其中真命題的序號(hào)是　　

A．①②　 　　　　B．③④　　 　　C．①④　 　　　D．②③

4．(上海卷)若空間中有四個(gè)點(diǎn)，則“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”是“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面上”的　 ( )

(A)充分非必要條件；(B)必要非充分條件；(C)充要條件；(D)非充分非必要條件

解：充分性成立： “這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”有兩種情況：1)第四點(diǎn)在共線三點(diǎn)所在的直線上，可推出“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面上”；2)第四點(diǎn)不在共線三點(diǎn)所在的直線上，可推出“這四點(diǎn)在唯一的一個(gè)平面內(nèi)”；必要性不成立：“四個(gè)點(diǎn)在同一平面上”可能推出“兩點(diǎn)分別在兩條相交或平行直線上”；　 故選(A)

5.(上海卷)如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是 　　　　　　　　?。?/p>

解：正方體中，一個(gè)面有四條棱與之垂直，六個(gè)面，共構(gòu)成24個(gè)“正交線面對(duì)”；而正方體的六個(gè)對(duì)角截面中，每個(gè)對(duì)角面又有兩條面對(duì)角線與之垂直，共構(gòu)成12個(gè)“正交線面對(duì)”，所以共有36個(gè)“正交線面對(duì)”；6. 在正四面體P－ABC中，D，E，F分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是(C)

　(A)BC//平面PDF　 (B)DF⊥平面PA E

(C)平面PDF⊥平面ABC　 (D)平面PAE⊥平面 ABC

7.給出下列關(guān)于互不相同的直線和平面的四個(gè)命題:

③　　 則與m不共面；、m是異面直線，；

④　　 若；若，則

其中為假命題的是　　　　　　　 (C)(A)①　 (B)②　 (C)③　 (D)④

8．已知a、b、c是直線，是平面，給出下列命題：①若②若

③若；④若a與b異面，且相交；　 ⑤若a與b異面，則至多有一條直線與a，b都垂直.　 其中真命題的個(gè)數(shù)是　　　　　　　　　　　　 (　　 )　　　　　　　　　 A．1子 B．2　　 C．3　　 D．4

9．.(全國II)如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α、β所成的角分別為和，過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′，則AB∶A′B′＝

(A)2∶1　　 (B)3∶1　　 (C)3∶2　　　 (D)4∶3

解析:連接,設(shè)AB=a,可得AB與平面所成的角為

,在,同理可得AB與平面所成的角為,所以,因此在,所以,故選A

[典型考例]

例1．(P₇₅例3)　 如圖，在五面體ABCDEF中，點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，面CDE是等邊三角形，棱　　 (I)證明平面　　　 (II)設(shè)證明平面

(19)本小題考查直線與平面平行、直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力。滿分12分。

　　　 (I)證明：取CD中點(diǎn)M，連結(jié)OM。

　　　 在矩形ABCD中，

　　　 又

　　　 則連結(jié)EM，于是

　　　 四邊形EFOM為平行四邊形。

　　　

　　　 又平面CDE，且平面CDE，平面CDE。

　　　 (II)證明：連結(jié)FM。由(I)和已知條件，在等邊中，

　　　 且

　　　 因此平行四邊形EFOM為菱形，從而。

　　　 平面EOM，從而

　　　 而所以平面

例2．　　 如圖, 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，AB=5點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，　 (I)求證：AC⊥BC₁；　 (II)求證：AC ₁//平面CDB₁；　 (III)設(shè)BD₁的中點(diǎn)為F，求三棱錐B₁-BEF的體積

證：(I)直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三邊長AC=3，BC=4AB=5，

∴ AC⊥BC，且BC₁在平面ABC內(nèi)的射影為BC，∴ AC⊥BC₁；

(II)設(shè)CB₁與C₁B的交點(diǎn)為E，連結(jié)DE，∵ D是AB的中點(diǎn)，E是BC₁的中點(diǎn)，∴ DE//AC₁，

∵ DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，∴ AC₁//平面CDB₁；

例2．已知ABCD是上．下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對(duì)稱軸OO₁折成直二面角

　(Ⅰ)證明：AC⊥BO₁；

(Ⅱ)求點(diǎn)O₁到平面AOC的距離。

(III)求四面體O₁-ACO的體積。

(I)證明 由題設(shè)知OA⊥OO₁，OB⊥OO₁.

　　　 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

　　　 即OA⊥OB. 故可以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OO₁

 所在直線分別為軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

　　　 如圖3，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)是A(3，0，0)，

　　　 B(0，3，0)，C(0，1，)O₁(0，0，).

從而

　　　 所以AC⊥BO₁.

例3.如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，，平面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn).(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)求證：平面；

(Ⅲ)求四面體B-AED的體積。

解：(1)由平面可得PA^AC

又，所以AC^平面PAB，所以

(2)如圖，連BD交AC于點(diǎn)O，連EO，則

EO是△PDB的中位線，\EOPB

\PB平面

(3)如圖，取AD的中點(diǎn)F，連EF，F(xiàn)O，則EF是△PAD的中位線，\EFPA又平面，\EF^平面

同理FO是△ADC的中位線，\FOAB\FO^AC由三垂線定理可知\ÐEOF是二面角E－AC－D的平面角.又FO＝AB＝PA＝EF\ÐEOF＝45°而二面角與二面角E－AC－D互補(bǔ)，故所求二面角的大小為135°.

例4．如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱長和底面邊長均為1，M是底面BC邊上的中點(diǎn)，N是側(cè)棱CC₁上的點(diǎn)。(Ⅰ)當(dāng)B₁M⊥AN時(shí)，求CN的長度；(Ⅱ)若CN=時(shí)，求點(diǎn)B₁到平面AMN的距離。