44、已知點(diǎn)列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)(n∈N)
順次為一次函數(shù)圖象上的點(diǎn),
點(diǎn)列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)(n∈N)
順次為x軸正半軸上的點(diǎn),其中x1=a(0<a<1),
對于任意n∈N,點(diǎn)An、Bn、An+1構(gòu)成以
Bn為頂點(diǎn)的等腰三角形。
⑴求{yn}的通項(xiàng)公式,且證明{yn}是等差數(shù)列;
⑵試判斷xn+2-xn是否為同一常數(shù)(不必證明),并求出數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式;
⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中,是否存在直角三角形?若有,求出此時a值;若不存在, 請說明理由。
解:(1)(nÎN),yn+1-yn=,∴{yn}為等差數(shù)列 (4¢)
(2)xn+1-xn=2為常數(shù) (6¢) ∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6,,…,x2n都是公差為2的等差數(shù)列,
∴x2n-1=x1+2(n-1)=2n-2+a,x2n=x2+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a,
∴xn= (10¢)
(3)要使AnBnAn+1為直角三形,則 |AnAn+1|=2=2()Þxn+1-xn=2()
當(dāng)n為奇數(shù)時,xn+1=n+1-a,xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).
Þ2(1-a)=2() Þa=(n為奇數(shù),0<a<1) (*)
取n=1,得a=,取n=3,得a=,若n≥5,則(*)無解; (14¢)
當(dāng)偶數(shù)時,xn+1=n+a,xn=n-a,∴xn+1-xn=2a.
∴2a=2()Þa=(n為偶數(shù),0<a<1)
(*¢),取n=2,得a=,
若n≥4,則(*¢)無解.
綜上可知,存在直角三形,此時a的值為、、. (18¢)