1、(Ⅰ)已知函數(shù):求函數(shù)的最小值;
(Ⅱ)證明:;
(Ⅲ)定理:若 均為正數(shù),則有 成立
(其中.請(qǐng)你構(gòu)造一個(gè)函數(shù),證明:
當(dāng)均為正數(shù)時(shí),.
解:(Ⅰ)令得…2分
當(dāng)時(shí), 故在上遞減.
當(dāng)故在上遞增.所以,當(dāng)時(shí),的最小值為.….4分
(Ⅱ)由,有 即
故 .………………………………………5分
(Ⅲ)證明:要證:
只要證:
設(shè)…………………7分
則
令得…………………………………………………….8分
當(dāng)時(shí),
故上遞減,類似地可證遞增
所以的最小值為………………10分
而
=
==
由定理知: 故
故
即: .…………………………..14分
2、用類比推理的方法填表
等差數(shù)列中 |
等比數(shù)列中 |
|
|
|
|
|
|
答案:
3、10.定義一種運(yùn)算“*”:對(duì)于自然數(shù)n滿足以下運(yùn)算性質(zhì):
(i)1*1=1,(ii)(n+1)*1=n*1+1,則n*1等于
A.n B.n+1 C.n -1 D. 答案:D
4、若為的各位數(shù)字之和,如:,,則;記____
答案:5
5、下面的一組圖形為某一四棱錐S-ABCD的側(cè)面與底面。
(1)請(qǐng)畫(huà)出四棱錐S-ABCD的示意圖,是否存在一條側(cè)棱垂直于底面?如果存在,請(qǐng)給出證明;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)若SA面ABCD,E為AB中點(diǎn),求二面角E-SC-D的大??;
(3)求點(diǎn)D到面SEC的距離。
(1)存在一條側(cè)棱垂直于底面(如圖)………………3分
證明:且AB、AD是面ABCD內(nèi)的交線SA底面ABCD……………………5分
(2)分別取SC、SD的中點(diǎn)G、F,連GE、GF、FA,
則GF//EA,GF=EA,AF//EG
而由SA面ABCD得SACD,
又ADCD,CD面SAD,
又SA=AD,F是中點(diǎn),
面SCD,EG面SCD,面SCD
所以二面角E-SC-D的大小為90…………10分
(3)作DHSC于H,
面SEC面SCD,DH面SEC,
DH之長(zhǎng)即為點(diǎn)D到面SEC的距離,12分
在RtSCD中,
答:點(diǎn)D到面SEC的距離為………………………14分
6、一個(gè)計(jì)算裝置有一個(gè)入口A和一輸出運(yùn)算結(jié)果的出口B,將自然數(shù)列中的各數(shù)依次輸入A口,從B口得到輸出的數(shù)列,結(jié)果表明:①?gòu)腁口輸入時(shí),從B口得;②當(dāng)時(shí),從A口輸入,從B口得到的結(jié)果是將前一結(jié)果先乘以自然數(shù)列中的第個(gè)奇數(shù),再除以自然數(shù)列中的第個(gè)奇數(shù)。試問(wèn):
(1) 從A口輸入2和3時(shí),從B口分別得到什么數(shù)?
(2) 從A口輸入100時(shí),從B口得到什么數(shù)?并說(shuō)明理由。
解(1)
(2)先用累乖法得
得
7、在△ABC中,,給出△ABC滿足的條件,就能得到動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程,下表給出了一些條件及方程:
條件 |
方程 |
①△ABC周長(zhǎng)為10 |
: |
②△ABC面積為10 |
: |
③△ABC中,∠A=90° |
: |
則滿足條件①、②、③的軌跡方程分別為 (用代號(hào)、、填入)
答案:
8、已知兩個(gè)函數(shù)和的定義域和值域都是集合{1,2,3},其定義如下表.
x |
1 |
2 |
3 |
f(x) |
2 |
3 |
1 |
x |
1 |
2 |
3 |
g(x) |
1 |
3 |
2 |
填寫(xiě)下列的表格,其三個(gè)數(shù)依次為
x |
1 |
2 |
3 |
g (f(x)) |
|
|
|
A. 3,1,2 B . 2,1,3 C. 1,2,3 D. 3,2,1
答案:D
9、在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算法則中,我們補(bǔ)充定義新運(yùn)算“”如下:
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),。
則函數(shù)的最大值等于( C )
(“.”和“-”仍為通常的乘法和減法)A. B. 1 C. 6 D. 12
10、已知,[x]表示不大于x的最大整數(shù),如,,,則_____________;使成立的x的取值范圍是_____________ 答案:2
11、為研究“原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)是否在直線上”這個(gè)課題,我們可以分三步進(jìn)行研究:
(I)首先選取如下函數(shù):
,,
求出以上函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo):
與其反函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-1)
與其反函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),(1,1)
與其反函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為(),(-1,0),(0,-1)
(II)觀察分析上述結(jié)果得到研究結(jié)論;
(III)對(duì)得到的結(jié)論進(jìn)行證明。
現(xiàn)在,請(qǐng)你完成(II)和(III)。
解:(II)原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)不一定在直線y=x上 2分
(III)證明:設(shè)點(diǎn)(a,b)是的圖象與其反函數(shù)圖象的任一交點(diǎn),由于原函數(shù)與反函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,則點(diǎn)(b,a)也是的圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn),且有
若a=b時(shí),交點(diǎn)顯然在直線上
若a<b且是增函數(shù)時(shí),有,從而有b<a,矛盾;若b<a且是增函數(shù)時(shí),有,從而有a<b,矛盾
若a<b且是減函數(shù),有,從而a<b成立,此時(shí)交點(diǎn)不在直線y=x上;同理,b<a且是減函數(shù)時(shí),交點(diǎn)也不在直線y=x上。
綜上所述,如果函數(shù)是增函數(shù),并且的圖象與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn),則交點(diǎn)一定在直線上;
如果函數(shù)是減函數(shù),并且的圖象與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn),則交點(diǎn)不一定在直線y=x上?! ? 14分
12、設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合:“①方程有實(shí)數(shù)根;②
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足.”
(I)判斷函數(shù)是否是集合M中的元素,并說(shuō)明理由;
(II)集合M中的元素具有下面的性質(zhì):若的定義域?yàn)镈,則對(duì)于任意
[m,n]D,都存在[m,n],使得等式成立”,
試用這一性質(zhì)證明:方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根;
(III)設(shè)是方程的實(shí)數(shù)根,求證:對(duì)于定義域中任意的.
解:(1)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383981_1/image142.gif">,…………2分
所以滿足條件………………3分
又因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以方程有實(shí)數(shù)根0.
所以函數(shù)是集合M中的元素.…………4分
(2)假設(shè)方程存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根),
則,………5分 不妨設(shè),根據(jù)題意存在數(shù)
使得等式成立,……………………7分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383981_1/image152.gif">,所以,
與已知矛盾,所以方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根;…………9分
(3)不妨設(shè),因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383981_1/image155.gif">所以為增函數(shù),所以,
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383981_1/image157.gif">,所以函數(shù)為減函數(shù),………………10分
所以,…………11分
所以,即…………12分
所以
…………………………13分
13、在算式“2×□+1×□=30”的兩個(gè)口中,分別填入兩個(gè)自然數(shù),使它們的倒數(shù)之和最小,則這兩個(gè)數(shù)應(yīng)分別為 和 . 答案:9,12.
14、如圖為一幾何體的的展開(kāi)圖,其中ABCD是邊長(zhǎng)
為6的正方形,SD=PD=6,CR=SC,AQ=AP,點(diǎn)S,
D,A,Q及P,D,C,R共線,沿圖中虛線將它們折疊起來(lái),
使P,Q,R,S四點(diǎn)重合,則需要 個(gè)這樣的
幾何體,可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體。 答案:3
15、用水清洗一堆蔬菜上殘留的農(nóng)藥的效果假定如下:用x單位量的水清洗一次以后,蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與這次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為.
(Ⅰ)試解釋的實(shí)際意義;
(Ⅱ)現(xiàn)有a(a>0)單位量的水,可以清洗一次,也可以把水平均分成2份后清洗兩次.哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥比較少?請(qǐng)說(shuō)明理由.
答案:解:(I)f(0)=1.表示沒(méi)有用水清洗時(shí),蔬菜上的農(nóng)藥量沒(méi)有變化.……………2'
(Ⅱ)設(shè)清洗前蔬菜上的農(nóng)藥量為1,那么用a單位量的水清洗1次后.殘留的農(nóng)藥量為 W1=1×f(a)=;……………………………………………………………………4'
又如果用單位量的水清洗1次,殘留的農(nóng)藥量為1×f()=,
此后再用單位量的水清洗1次后,殘留的農(nóng)藥量為
W2=.f()=[]2=.……………………………8'
由于W1-W2=-=,………………………9'
故當(dāng)a>2時(shí),W1>W2,此時(shí),把a單位量的水平均分成2份后,清洗兩次,殘留的農(nóng)藥量較少;當(dāng)a=2時(shí),W1=W2,此時(shí),兩種清洗方式效果相同;當(dāng)a<2時(shí),W1<W2,此時(shí),把a單位量的水清洗一次,殘留的農(nóng)藥量較少.…………………………12'
16、直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn),如果函數(shù)f(x)的圖象恰好通過(guò)k(k∈N*)個(gè)格點(diǎn),則稱函數(shù)f(x)為k階格點(diǎn)函數(shù)。下列函數(shù):
① f(x)=sinx; ②f(x)=π(x-1)2+3; ③ ④,
其中是一階格點(diǎn)函數(shù)的有 . 答案:①②④
17、一水池有2個(gè)進(jìn)水口,1個(gè)出水口,一個(gè)口進(jìn)出水速度如圖甲、乙所示.某天0點(diǎn)到6點(diǎn),
該水池的蓄水量如圖丙所示(至少打開(kāi)一個(gè)水口),給出以下3個(gè)論斷:
進(jìn)水量 出水量 蓄水量
甲 乙 丙
(1)0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水;(2)3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水;(3)4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水不
出水。則一定不確定的論斷是 (把你認(rèn)為是符合題意的論斷序號(hào)都填上)。
答案:(2)(3)
18、已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.
(Ⅰ)若Sm,Sm+2,Sm+1成等差數(shù)列,證明am,am+2,am+1成等差數(shù)列;
(Ⅱ)寫(xiě)出(Ⅰ)的逆命題,判斷它的真?zhèn)?,并給出證明.
證 (Ⅰ) ∵Sm+1=Sm+am+1,Sm+2=Sm+am+1+am+2.
由已知2Sm+2=Sm+Sm+1,∴ 2(Sm+am+1+am+2)=Sm+(Sm+am+1),
∴am+2=-am+1,即數(shù)列{an}的公比q=-.
∴am+1=-am,am+2=am,∴2am+2=am+am+1,∴am,am+2,am+1成等差數(shù)列.
(Ⅱ) (Ⅰ)的逆命題是:若am,am+2,am+1成等差數(shù)列,則Sm,Sm+2,Sm+1成等差數(shù)列.
設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,∵am+1=amq,am+2=amq2.
由題設(shè),2am+2=am+am+1,即2amq2=am+amq,即2q2-q-1=0,∴q=1或q=-.
當(dāng)q=1時(shí),A≠0,∴Sm, Sm+2, Sm+1不成等差數(shù)列.
逆命題為假.
19、2005年底,某地區(qū)經(jīng)濟(jì)調(diào)查隊(duì)對(duì)本地區(qū)居民收入情況進(jìn)行抽樣調(diào)查,抽取1000戶,按
|
本地區(qū)在“十一五”規(guī)劃中明確
提出要縮小貧富差距,到2010年
要實(shí)現(xiàn)一個(gè)美好的愿景,由右邊圓圖顯示,則中等收入家庭的數(shù)
量在原有的基礎(chǔ)要增加的百分比和低收入家庭的數(shù)量在原有的基
礎(chǔ)要降低的百分比分別為 ( B )
A.25% , 27.5% B.62.5% , 57.9% C.25% , 57.9% D.62.5%,42.1%
20、一個(gè)三位數(shù)abc稱為“凹數(shù)”,如果該三位數(shù)同時(shí)滿足a>b且b<c,那么所有不同的三位“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)是_____________________.
答案:三位“凹數(shù)”可分兩類:一類是aba,共有=45,另一類是abc,a≠c,共有2=240,故共有45+240=285個(gè)
21、定義運(yùn)算 ,若復(fù)數(shù),,則 。答案:-4
22、從裝有個(gè)球(其中個(gè)白球,1個(gè)黑球)的口袋中取出個(gè)球,共有種取法。在這種取法中,可以分成兩類:一類是取出的個(gè)球全部為白球,共有,即有等式:成立。試根據(jù)上述思想化簡(jiǎn)下列式子: 。。
答案: 根據(jù)題中的信息,可以把左邊的式子歸納為從個(gè)球(n個(gè)白球,k個(gè)黑球)中取出m個(gè)球,可分為:沒(méi)有黑球,一個(gè)黑球,……,k個(gè)黑球等類,故有種取法。
23、定義運(yùn)算x※y=,若|m-1|※m=|m-1|,則m的取值范圍是
24、在公差為的等差數(shù)列中,若是的前項(xiàng)和,則數(shù)列也成等差數(shù)列,且公差為,類比上述結(jié)論,相應(yīng)地在公比為的等比數(shù)列中,若是數(shù)列的前項(xiàng)積,則有= 。
25、考察下列一組不等式: 將上述不等式在左右兩端仍為兩項(xiàng)和的情況下加以推廣,使以上的不等式成為推廣不等式的特例,則推廣的不等式為
26、對(duì)任意實(shí)數(shù),定義運(yùn)算,其中為常數(shù),等號(hào)右邊的運(yùn)算是通常意義的加、乘運(yùn)算。現(xiàn)已知,且有一個(gè)非零實(shí)數(shù),使得對(duì)任意實(shí)數(shù),都有,則 。
27、對(duì)于任意實(shí)數(shù),符號(hào)[]表示的整數(shù)部分,即[]是不超過(guò)的最大整數(shù)”。在實(shí)數(shù)軸R(箭頭向右)上[]是在點(diǎn)左側(cè)的第一個(gè)整數(shù)點(diǎn),當(dāng)是整數(shù)時(shí)[]就是。這個(gè)函數(shù)[]叫做“取整函數(shù)”,它在數(shù)學(xué)本身和生產(chǎn)實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)用。那么=___________________8204
28、我國(guó)男足運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)會(huì)至海外俱樂(lè)部常會(huì)成為體育媒體關(guān)注的熱點(diǎn)新聞。05年8月,在上海申花俱樂(lè)部隊(duì)員杜威確認(rèn)轉(zhuǎn)會(huì)至蘇超凱爾特人俱樂(lè)部之前,各種媒體就兩俱樂(lè)部對(duì)于杜威的轉(zhuǎn)會(huì)費(fèi)協(xié)商過(guò)程紛紛“爆料”:
媒體A:“……, 凱爾特人俱樂(lè)部出價(jià)已從80萬(wàn)英鎊提高到了120萬(wàn)歐元?!?/p>
媒體B:“……, 凱爾特人俱樂(lè)部出價(jià)從120萬(wàn)歐元提高到了100萬(wàn)美元,同
時(shí)增加了不少附加條件?!?/p>
媒體C:“……, 凱爾特人俱樂(lè)部出價(jià)從130萬(wàn)美元提高到了120萬(wàn)歐元?!?/p>
請(qǐng)根據(jù)表中提供的匯率信息(由于短時(shí)間內(nèi)國(guó)際貨幣的匯率變化不大,我們假定比值為定值),我們可以發(fā)現(xiàn)只有媒體 (填入媒體的字母編號(hào))的報(bào)道真實(shí)性強(qiáng)一些。
29、已知二次函數(shù)同時(shí)滿足:①不等式的解集有且只有一個(gè)元素;②在定義域內(nèi)存在,使得不等式成立。
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和,
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)試構(gòu)造一個(gè)數(shù)列,(寫(xiě)出的一個(gè)通項(xiàng)公式)滿足:對(duì)任意的正整數(shù)都有,且,并說(shuō)明理由;
(3)設(shè)各項(xiàng)均不為零的數(shù)列中,所有滿足的正整數(shù)的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的變號(hào)數(shù)。令(為正整數(shù)),求數(shù)列的變號(hào)數(shù)。
解:(1)∵的解集有且只有一個(gè)元素,∴,
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上遞增,故不存在,使得不等式成立。
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上遞減,故存在,使得不等式成立。
綜上,得,,∴,
∴
(2)要使,可構(gòu)造數(shù)列,∵對(duì)任意的正整數(shù)都有,
∴當(dāng)時(shí),恒成立,即恒成立,即,
又,∴,∴,等等。
(3)解法一:由題設(shè),
∵時(shí),,∴時(shí),數(shù)列遞增,
∵,由,可知,即時(shí),有且只有個(gè)變號(hào)數(shù);
又∵,即,∴此處變號(hào)數(shù)有個(gè)。
綜上得 數(shù)列共有個(gè)變號(hào)數(shù),即變號(hào)數(shù)為。
解法二:由題設(shè),
時(shí),令;
又∵,∴時(shí)也有。
綜上得 數(shù)列共有個(gè)變號(hào)數(shù),即變號(hào)數(shù)為。
30、在R上定義運(yùn)算△:x△y=x(1 -y) 若不等式(x-a)△(x+a)<1,對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 。
31、已知之間滿足
(1)方程表示的曲線經(jīng)過(guò)一點(diǎn),求b的值
(2)動(dòng)點(diǎn)(x,y)在曲線(b>0)上變化,求x2+2y的最大值;
(3)由能否確定一個(gè)函數(shù)關(guān)系式,如能,求解析式;如不能,再加什么條件就可使之間建立函數(shù)關(guān)系,并求出解析式。
解:(1) (4分)
(2)根據(jù)得 (5分)
(7分)
(10分)
(2)不能 (11分)
如再加條件就可使之間建立函數(shù)關(guān)系 (12分)
解析式 (14分)
(不唯一,也可其它答案)
32、用錘子以均勻的力敲擊鐵釘入木板。隨著鐵釘?shù)纳钊?,鐵釘所受的阻力會(huì)越來(lái)越大,使得每次釘入木板的釘子長(zhǎng)度后一次為前一次的。已知一個(gè)鐵釘受擊次后全部進(jìn)入木板,且第一次受擊后進(jìn)入木板部分的鐵釘長(zhǎng)度是釘長(zhǎng)的,請(qǐng)從這個(gè)實(shí)事中提煉出一個(gè)不等式組是 。
33、已知,記,(其中),例如:
。設(shè),且滿足,則有序數(shù)組
是 。
34、(12′=9′+3′)(理)設(shè)表示冪函數(shù)在上是增函數(shù)的的集合;表示不等式 對(duì)任意恒成立的的集合。(1)求;(2)試寫(xiě)出一個(gè)解集為的不等式。
(文)設(shè)表示冪函數(shù)在上是增函數(shù)的的集合;表示不等式對(duì)任意恒成立的的集合。(1)求;(2)試寫(xiě)出一個(gè)解集為的不等式。
解:(理)(1)∵冪函數(shù)在上是增函數(shù),∴,即,
又不等式對(duì)任意恒成立,∴,即,
∴ 。
(2)一個(gè)解集為的不等式可以是 。
(文)(1)∵冪函數(shù)在上是增函數(shù),∴,即,
又不等式對(duì)任意恒成立,∴,即,
∴ 。
(2)一個(gè)解集為的不等式可以是 。
35、(理)已知為正常數(shù)。
(1)可以證明:定理“若、,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))”推廣到三個(gè)正數(shù)時(shí)結(jié)論是正確的,試寫(xiě)出推廣后的結(jié)論(無(wú)需證明);
(2)若在上恒成立,且函數(shù)的最大值大于,求實(shí)數(shù)的取值范圍,并由此猜測(cè)的單調(diào)性(無(wú)需證明);
(3)對(duì)滿足(2)的條件的一個(gè)常數(shù),設(shè)時(shí),取得最大值。試構(gòu)造一個(gè)定義在上的函數(shù),使當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),取得最大值的自變量的值構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列。
解:(1)若、、,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))。
(2)在上恒成立,即在上恒成立,
∵,∴,即,
又∵
∴,即時(shí),
,
又∵,∴?! ?綜上,得 。
易知,是奇函數(shù),∵時(shí),函數(shù)有最大值,∴時(shí),函數(shù)有最小值。
故猜測(cè):時(shí),單調(diào)遞減;時(shí),單調(diào)遞增。
(3)依題意,只需構(gòu)造以為周期的周期函數(shù)即可。
如對(duì),,此時(shí),
即 。
(文)已知函數(shù),,
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),若在上單調(diào)遞增,求的取值范圍;
(Ⅱ)求滿足下列條件的所有實(shí)數(shù)對(duì):當(dāng)是整數(shù)時(shí),存在,使得是的最大值,是的最小值;
(Ⅲ)對(duì)滿足(Ⅱ)的條件的一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì),試構(gòu)造一個(gè)定義在,且上的函數(shù),使當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),取得最大值的自變量的值構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列。
解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,
若,,則在上單調(diào)遞減,不符題意。
故,要使在上單調(diào)遞增,必須滿足 ,∴ 。
(Ⅱ)若,,則無(wú)最大值,故,∴為二次函數(shù),
要使有最大值,必須滿足,即且,
此時(shí),時(shí),有最大值。
又取最小值時(shí),,依題意,有,則,
∵且,∴,得,此時(shí)或。
∴滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)是。
(Ⅲ)當(dāng)實(shí)數(shù)對(duì)是時(shí),
依題意,只需構(gòu)造以2(或2的正整數(shù)倍)為周期的周期函數(shù)即可。
如對(duì),,
此時(shí),,
故。
36、有窮數(shù)列{an},Sn為其前n項(xiàng)和,定義為數(shù)列{an}的“凱森和”,
如果有99項(xiàng)的數(shù)列a1、a2、a3、…、a99的“凱森和”為1000,則有100項(xiàng)的數(shù)列
1、a1、a2、a3、a4、…a99的“凱森和”= 991 。
38、已知兩個(gè)向量, .
(1)若t=1且,求實(shí)數(shù)x的值;
(2)對(duì)tÎR寫(xiě)出函數(shù)具備的性質(zhì).
解:(1)由已知得 ……2分
……4分
解得,或 ……6分
(2) ……8分
具備的性質(zhì):
①偶函數(shù);
②當(dāng)即時(shí),取得最小值(寫(xiě)出值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383981_1/image417.gif">也可);
③單調(diào)性:在上遞減,上遞增;由對(duì)稱性,在上遞增,在遞減 ……14分
說(shuō)明:寫(xiě)出一個(gè)性質(zhì)得3分,寫(xiě)出兩個(gè)性質(zhì)得5分,寫(xiě)出三個(gè)性質(zhì)得6分,包括寫(xiě)出函數(shù)的零點(diǎn)(,)等皆可。寫(xiě)出函數(shù)的定義域不得分,寫(xiě)錯(cuò)扣1分
39、對(duì)于集合N={1, 2, 3,…, n}及其它的每一個(gè)非空子集,定義一個(gè)“交替和”如下:按照遞減的次序重新排列該子集,然后從最大數(shù)開(kāi)始交替地減、加后繼的數(shù)。例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9–6+4–2+1=6,集合{5}的交替和為5。當(dāng)集合N中的n=2時(shí),集合N={1, 2}的所有非空子集為{1},{2},{1, 2},則它的“交替和”的總和S2=1+2+(2–1)=4,請(qǐng)你嘗試對(duì)n=3、n=4的情況,計(jì)算它的“交替和”的總和S3、S4,并根據(jù)其結(jié)果猜測(cè)集合N={1, 2, 3,…, n}的每一個(gè)非空子集的“交替和”的總和Sn= n .2n–1 。(不必給出證明)
40、若AB是過(guò)二次曲線中心的任一條弦,M是二次曲線上異于A、B的任一點(diǎn),且AM、BM均與坐標(biāo)軸不平行,則對(duì)于橢圓有。類似地,對(duì)于雙曲線有= 。
41、已知
(1), 求的最小值
(2)P、Q關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱,若點(diǎn)P在曲線C上移動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q的軌跡是函數(shù)的圖象,求曲線C的軌跡方程。
(3)在中學(xué)數(shù)學(xué)中,從特殊到一般,從具體到抽象是常見(jiàn)的一種思維形式。如從可抽象出的性質(zhì),試分別寫(xiě)出一個(gè)具體的函數(shù),抽象出下列相應(yīng)的性質(zhì)
由 可抽象出
由 可抽象出
(1) …………3’
等號(hào)當(dāng)x=2時(shí)成立, …………………………4’
(2)設(shè)P(x,y)則Q(2-x,4-y)………………………………………………5’
由4-y=lg(2-x)可得:y=4-lg(2-x)………………………………8’
(3) h(x)=_______y=2x等_______, 9’ φ(x)=____y=lgx等__11’
42、已知函數(shù)的最大值為正實(shí)數(shù),集合
,集合。
(1)求和;
(2)定義與的差集:且。
設(shè),,均為整數(shù),且。為取自的概率,為取自的概率,寫(xiě)出與的二組值,使,。
(3)若函數(shù)中,, 是(2)中較大的一組,試寫(xiě)出在區(qū)間[,n]上的最大值函數(shù)的表達(dá)式。
答案:(1)∵,配方得,由得最大值。……………………………………………………………3分
∴,?!?分
(2)要使,。可以使①中有3個(gè)元素,中有2個(gè)元素, 中有1個(gè)元素。則?!?分
②中有6個(gè)元素,中有4個(gè)元素, 中有2個(gè)元素。則…………………………………………………………………………12分
(3)由(2)知…………………………13分
………………………………………………18分
43、在數(shù)學(xué)拓展課上,老師規(guī)定了一種運(yùn)算:a*b= ,例如:1*2=1,3*2=2,則函數(shù)的值域?yàn)?u>。
44、已知點(diǎn)列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)(n∈N)
順次為一次函數(shù)圖象上的點(diǎn),
點(diǎn)列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)(n∈N)
順次為x軸正半軸上的點(diǎn),其中x1=a(0<a<1),
對(duì)于任意n∈N,點(diǎn)An、Bn、An+1構(gòu)成以
Bn為頂點(diǎn)的等腰三角形。
⑴求{yn}的通項(xiàng)公式,且證明{yn}是等差數(shù)列;
⑵試判斷xn+2-xn是否為同一常數(shù)(不必證明),并求出數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式;
⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中,是否存在直角三角形?若有,求出此時(shí)a值;若不存在, 請(qǐng)說(shuō)明理由。
解:(1)(nÎN),yn+1-yn=,∴{yn}為等差數(shù)列 (4¢)
(2)xn+1-xn=2為常數(shù) (6¢) ∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6,,…,x2n都是公差為2的等差數(shù)列,
∴x2n-1=x1+2(n-1)=2n-2+a,x2n=x2+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a,
∴xn= (10¢)
(3)要使AnBnAn+1為直角三形,則 |AnAn+1|=2=2()Þxn+1-xn=2()
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),xn+1=n+1-a,xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).
Þ2(1-a)=2() Þa=(n為奇數(shù),0<a<1) (*)
取n=1,得a=,取n=3,得a=,若n≥5,則(*)無(wú)解; (14¢)
當(dāng)偶數(shù)時(shí),xn+1=n+a,xn=n-a,∴xn+1-xn=2a.
∴2a=2()Þa=(n為偶數(shù),0<a<1) (*¢),取n=2,得a=,
若n≥4,則(*¢)無(wú)解.
綜上可知,存在直角三形,此時(shí)a的值為、、. (18¢)
45、⑴證明:當(dāng)a>1時(shí),不等式成立。
⑵要使上述不等式成立,能否將條件“a>1”適當(dāng)放寬?若能,請(qǐng)放寬條件并簡(jiǎn)述理由;若不能,也請(qǐng)說(shuō)明理由。
⑶請(qǐng)你根據(jù)⑴、⑵的證明,試寫(xiě)出一個(gè)類似的更為一般的結(jié)論,且給予證明。
解:(1)證:,∵a>1,∴>0,
∴原不等式成立 (6¢)
(2)∵a-1與a5-1同號(hào)對(duì)任何a>0且a¹1恒成立,∴上述不等式的條件可放寬
為a>0且a¹1 (9¢)
(3)根據(jù)(1)(2)的證明,可推知:若a>0且a¹1,m>n>0,則有(12¢)
證:左式-右式= (14¢)
若a>1,則由m>n>0Þam-n>0,am+n>0Þ不等式成立;
若0<a<1,則由m>n>0Þ0<am-n<1, 0<am+n<1Þ不等式成立.(16¢)
46、為了保證信息安全傳輸,有一種稱為秘密密鑰密碼系統(tǒng),其加密、解密原理如下圖:
明文 密文 密文 明文,
現(xiàn)在加密密鑰為y=loga(x+2),如下所示:明文“6”通過(guò)加密后得到密文“3”,
再發(fā)送,接受方通過(guò)解密密鑰解密得明文“6”,問(wèn)“接受方接到密文”4“,則解密
后得到明文為 14 。
47、規(guī)定a△b=,a, b,若1△k=3,則函數(shù)f(x)=k△x的值域?yàn)? (1,+¥ )
48、同學(xué)們都知道,在一次考試后,如果按順序去掉一些高分,那么班級(jí)的平均分將降低;
反之,如果按順序去掉一些低分,那么班級(jí)的平均分將提高. 這兩個(gè)事實(shí)可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)
言描述為:若有限數(shù)列 滿足,則
(結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示).
和
49、已知數(shù)列,其中是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列;是公差為的等差數(shù)列;是公差為的等差數(shù)列().
(1)若,求;
(2)試寫(xiě)出關(guān)于的關(guān)系式,并求的取值范圍;
(3)續(xù)寫(xiě)已知數(shù)列,使得是公差為的等差數(shù)列,……,依次類推,把已知數(shù)列推廣為無(wú)窮數(shù)列. 提出同(2)類似的問(wèn)題((2)應(yīng)當(dāng)作為特例),并進(jìn)行研究,你能得到什么樣的結(jié)論?
[解](1). …… 4分
(2), …… 8分
,
當(dāng)時(shí),. …… 12分
(3)所給數(shù)列可推廣為無(wú)窮數(shù)列,其中是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,當(dāng)時(shí),數(shù)列是公差為的等差數(shù)列. …… 14分
研究的問(wèn)題可以是:試寫(xiě)出關(guān)于的關(guān)系式,并求的取值范圍.…… 16分
研究的結(jié)論可以是:由,
依次類推可得
當(dāng)時(shí),的取值范圍為等. …… 18分
50、定義一種運(yùn)算“*”,對(duì)于,滿足以下運(yùn)算性質(zhì):
① ;② 。則的數(shù)值為_(kāi)____3004_____。
51、已知命題:平面上一矩形的對(duì)角線與邊和
所成角分別為,則。若把它推廣到空
間長(zhǎng)方體中,試寫(xiě)出相應(yīng)的命題形式:____________________
_____________________________________________________。
長(zhǎng)方體中,對(duì)角線與棱所成的角分別為,則,?;蚴牵洪L(zhǎng)方體中,對(duì)角線與平面所成的角分別為,則,?;蚴牵洪L(zhǎng)方體中,對(duì)角面與平面所成的二面角分別為,則。
52、如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù),且從第二項(xiàng)開(kāi)始,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的平方差是相同的常數(shù),則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫這個(gè)數(shù)列的公方差. (1)設(shè)數(shù)列是公方差為的等方差數(shù)列,求和的關(guān)系式; (2)若數(shù)列既是等方差數(shù)列,又是等差數(shù)列,證明該數(shù)列為常數(shù)列; (3) 設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為,公方差為的等方差數(shù)列,若將這種順
序的排列作為某種密碼,求這種密碼的個(gè)數(shù).
(1)解:由等方差數(shù)列的定義可知:………………5分
(2)證法一:∵是等差數(shù)列,設(shè)公差為,則 又是等方差數(shù)列,∴………………………………7分 ∴ 即, …………………………………10分 ∴,即是常數(shù)列.…………………………………………………11分 證法二:∵是等差數(shù)列,設(shè)公差為,則……1 又是等方差數(shù)列,設(shè)公方差為,則……2…………7分 1代入2得,……3 同理有,……4 兩式相減得:即,…………………………………10分 ∴,即是常數(shù)列.………………………………………………11分
證法三:(接證法二1、2)
由1、2得出:若,則是常數(shù)列 …………………8分
若, 則 是常數(shù), ∴,矛盾…………10分
∴ 是常數(shù)列. …………………11分 (3)依題意, ,
, ∴,或, ……………………………13分 即該密碼的第一個(gè)數(shù)確定的方法數(shù)是,其余每個(gè)數(shù)都有“正”或“負(fù)”兩種
確定方法,當(dāng)每個(gè)數(shù)確定下來(lái)時(shí),密碼就確定了,即確定密碼的方法數(shù)是種, 故,這種密碼共種.…………………………………………………16分
53、已知函數(shù),當(dāng)點(diǎn)在的圖像上移動(dòng)時(shí),
點(diǎn)在函數(shù)的圖像上移動(dòng).
(1) 若點(diǎn)P坐標(biāo)為(),點(diǎn)Q也在的圖像上,求的值;
(2) 求函數(shù)的解析式;
(3) 當(dāng)時(shí),試探求一個(gè)函數(shù)使得在限定定義域?yàn)?/p>
時(shí)有最小值而沒(méi)有最大值.
解:(1)當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為(),點(diǎn)的坐標(biāo)為,…………2分 ∵點(diǎn)也在的圖像上,∴,即.……5分
(根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得,請(qǐng)相應(yīng)給分) (2)設(shè)在的圖像上 則,即 ……………………………………8分 而在的圖像上,∴ 代入得,為所求.…………………………………11分
(3);或 等. …………………15分 如:當(dāng)時(shí),
∵在單調(diào)遞減, ∴ 故 , 即有最小值,但沒(méi)有最大值.………………………18分
(其他答案請(qǐng)相應(yīng)給分)
(參考思路)在探求時(shí),要考慮以下因素:①在上必須有意義(否則不能參加與的和運(yùn)算);②由于和都是以為底的對(duì)數(shù),所以構(gòu)造的函數(shù)可以是以為底的對(duì)數(shù),這樣與和進(jìn)行的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為真數(shù)的乘積運(yùn)算;③以為底的對(duì)數(shù)是減函數(shù),只有當(dāng)真數(shù)取到最大值時(shí),對(duì)數(shù)值才能取到最小值;④為方便起見(jiàn),可以考慮通過(guò)乘積消去;⑤乘積的結(jié)果可以是的二次函數(shù),該二次函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸應(yīng)在直線的左側(cè)(否則真數(shù)會(huì)有最小值,對(duì)數(shù)就有最大值了),考慮到該二次函數(shù)的圖像與軸已有了一個(gè)公共點(diǎn),故對(duì)稱軸又應(yīng)該是軸或在軸的右側(cè)(否則該二次函數(shù)的值在上的值不能恒為正數(shù)),即若拋物線與軸的另一個(gè)公共點(diǎn)是,則,且拋物線開(kāi)口向下.
54、如圖,一個(gè)計(jì)算裝置有兩個(gè)數(shù)據(jù)輸入口Ⅰ、Ⅱ與一個(gè)運(yùn)算結(jié)果輸出口Ⅲ,當(dāng)Ⅰ、Ⅱ分別輸入正整數(shù)時(shí),輸出結(jié)果記為,且計(jì)算裝置運(yùn)算原理如下:
① 若Ⅰ、Ⅱ分別輸入1,則;②若Ⅰ輸入固定的正整數(shù),
Ⅱ輸入的正整數(shù)增大1,則輸出結(jié)果比原來(lái)增大3;③若Ⅱ輸入1,
Ⅰ輸入正整數(shù)增大1,則輸出結(jié)果為原來(lái)3倍。
試求:
(1)的表達(dá)式;(2)的表達(dá)式;
(3)若Ⅰ、Ⅱ都輸入正整數(shù),則輸出結(jié)果能否為2005?
若能,求出相應(yīng)的;若不能,則請(qǐng)說(shuō)明理由。
解:(1)
(2)
(3) ,∵,
∴輸出結(jié)果不可能為。
55、對(duì)數(shù)列,規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列,其中。
對(duì)自然數(shù),規(guī)定為的階差分?jǐn)?shù)列,其中。
(1)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式,試判斷,是否為等差或等比數(shù)列,為什么?
(2)若數(shù)列首項(xiàng),且滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
(3)對(duì)(2)中數(shù)列,是否存在等差數(shù)列,使得對(duì)一切自然都成立?若存在,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;若不存在,則請(qǐng)說(shuō)明理由。
解:(1),∴是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列。
∴是首項(xiàng)為2,公差為0的等差數(shù)列;也是首項(xiàng)為2,公比為1的等比數(shù)列。
(2),即,即,∴
∵,∴,,,猜想:
證明:ⅰ)當(dāng)時(shí),;
ⅱ)假設(shè)時(shí),
時(shí), 結(jié)論也成立
∴由ⅰ)、ⅱ)可知,
(3),即
∵
∴存在等差數(shù)列,,使得對(duì)一切自然都成立。
56、對(duì)于在區(qū)間[m,n]上有意義的兩個(gè)函數(shù)f (x)與g (x),如果對(duì)任意x∈[m,n]均有| f (x) – g (x) |≤1,則稱f (x)與g (x)在[m,n]上是接近的,否則稱f (x)與g (x)在[m,n]上是非接近的,現(xiàn)有兩個(gè)函數(shù)f 1(x) = loga(x – 3a)與f 2 (x) = loga(a > 0,a≠1),給定區(qū)間[a + 2,a + 3].
(1)若f 1(x)與f 2 (x)在給定區(qū)間[a + 2,a + 3]上都有意義,求a的取值范圍;
(2)討論f 1(x)與f 2 (x)在給定區(qū)間[a + 2,a + 3]上是否是接近的?
解:(1)要使f 1 (x)與f 2 (x)有意義,則有
要使f 1 (x)與f 2 (x)在給定區(qū)間[a + 2,a + 3]上有意義,
等價(jià)于真數(shù)的最小值大于0
即
(2)f 1 (x)與f 2 (x)在給定區(qū)間[a + 2,a + 3]上是接近的
| f 1 (x) – f 2 (x)|≤1
≤1
|loga[(x – 3a)(x – a)]|≤1
a≤(x – 2a)2 – a2≤
對(duì)于任意x∈[a + 2,a + 3]恒成立
設(shè)h(x) = (x – 2a)2 – a2,x∈[a + 2,a + 3]
且其對(duì)稱軸x = 2a < 2在區(qū)間[a + 2,a + 3]的左邊
當(dāng)時(shí)
f 1 (x)與f 2 (x)在給定區(qū)間[a + 2,a + 3]上是接近的
當(dāng)< a < 1時(shí),f 1 (x)與f 2 (x)在給定區(qū)間[a + 2,a + 3]上是非接近的.
57、已知是定義在-∞,+∞上的函數(shù),∈-∞,+∞,請(qǐng)給出能使命題:“若+1>0,則+>+”成立的一個(gè)充分條件:
?。?/p>
已知是定義在-∞,+∞上的函數(shù),∈-∞,+∞,請(qǐng)給出能使命題:“若+1>0,則+>+”成立的一個(gè)充分條件:_______.
答案: 函數(shù)在-∞,+∞上單調(diào)遞增(或=+(>0)等) .
58、歌德巴赫(Goldbach.C.德.1690-1764)曾研究過(guò)“所有形如(,為正整數(shù))的分?jǐn)?shù)之和”問(wèn)題.為了便于表述,引入記號(hào):
=++┅
++┅
寫(xiě)出你對(duì)此問(wèn)題的研究結(jié)論: =1 (用數(shù)學(xué)符號(hào)表示).
59、集合P=1,3,5,7,9,┅,2-1,┅∈N,若∈P,∈P時(shí),
∈P,則運(yùn)算 可能是( D )
(A)加法; (B)除法; (C)減法; (D)乘法.
60、,,┅,,,,┅,分別表示實(shí)數(shù),,┅,中的最小者和最大者.
(1)作出函數(shù)=|+3|+2|-1|(∈R)的圖像;
(2)在求函數(shù)=|+3|+2|-1|(∈R)的最小值時(shí),有如下結(jié)論:
=,=4.請(qǐng)說(shuō)明此結(jié)論成立的理由;
(3)仿照(2)中的結(jié)論,討論當(dāng),,┅,為實(shí)數(shù)時(shí),
函數(shù)=++┅+∈R,<<┅<∈R的最值.
解:(1)圖略;
(2)當(dāng)∈(-∞,-3)時(shí),是減函數(shù),
當(dāng)∈-3,1)時(shí),是減函數(shù),
當(dāng)∈1,+∞)時(shí),是增函數(shù),
∴=,=4.
(3)當(dāng)++┅+<0時(shí),=,,┅,;
當(dāng)++┅+>0時(shí),=,,┅,;
當(dāng)++┅+=0時(shí),=,,
=,.
61、在4×□+9×□=60的兩個(gè)□中,分別填入兩自然數(shù),使它們的倒數(shù)和最小,應(yīng)分別填上 和 。
答案:設(shè)兩數(shù)為x、y,即4x+9y=60,又= ≥,等于當(dāng)且僅當(dāng),且4x+9y=60,即x=6且y=4時(shí)成立,故應(yīng)分別有6、4。
62、我們把平面內(nèi)兩條相交但不垂直的數(shù)軸構(gòu)成的坐標(biāo)系(兩條數(shù)軸的原點(diǎn)重合且單位長(zhǎng)度相同)稱為斜坐標(biāo)系.平面上任意一點(diǎn)P的斜坐標(biāo)定義為:若(其中、分別為斜坐標(biāo)系的x軸、y軸正方向上的單位向量,x、y∈R),則點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為(x, y).在平面斜坐標(biāo)系xoy中,若,已知點(diǎn)M的斜坐標(biāo)為 (1, 2),則點(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離為 .
63、定義運(yùn)算符號(hào):“”,這個(gè)符號(hào)表示若干個(gè)數(shù)相乘,例如:可將1×2×3×…×n記作,,其中ai為數(shù)列中的第i項(xiàng).
①若,則T4= ;105;
②若 .
64、如圖2,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N、P分別為棱AB、BC、DD1的中點(diǎn).
(1)求二面角B1-MN-B的正切值;
(2)證明:PB⊥平面B1MN;
(3)畫(huà)出該正方體表面展開(kāi)圖,使其滿足“有4個(gè)正方形連成一個(gè)長(zhǎng)方形”的條件.
符合條件的正方體表面展開(kāi)圖可以是以下6種情況之一.
答案:
65、為了了解“預(yù)防禽流感疫苗”的使用情況,溫州市衛(wèi)生部門(mén)對(duì)本地區(qū)9月份至11月份使用疫苗的所有養(yǎng)雞場(chǎng)進(jìn)行了調(diào)查,根據(jù)下列圖表提供的信息,可以得出這三個(gè)月本地區(qū)每月注射了疫苗的雞的數(shù)量平均為 90 萬(wàn)只.
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66、將側(cè)棱相互垂直的三棱錐稱為“直角三棱錐”,三棱錐的側(cè)面和底面分別叫為直角三棱錐的“直角面和斜面”;過(guò)三棱錐頂點(diǎn)及斜面任兩邊中點(diǎn)的截面均稱為斜面的“中面”.請(qǐng)仿照直角三角形以下性質(zhì):
(1)斜邊的中線長(zhǎng)等于斜邊邊長(zhǎng)的一半;
(2)兩條直角邊邊長(zhǎng)的平方和等于斜邊邊長(zhǎng)的平方;
(3)斜邊與兩條直角邊所成角的余弦平方和等于1.
寫(xiě)出直角三棱錐相應(yīng)性質(zhì)(至少一條): .
答案:(1) 斜面的中面面積等于斜面面積的四分之一;
(2)三個(gè)直角面面積的平方和等于斜面面積的平方;
(3)斜面與三個(gè)直角面所成二面角的余弦平方和等于1.
67、定義:若存在常數(shù),使得對(duì)定義域內(nèi)的任意兩個(gè),均有成立,則稱函數(shù)在定義域上滿足利普希茨條件。若函數(shù)滿足利普希茨條件,則常數(shù)的最小值為 。
68、已知函數(shù)y=f(x)滿足f(a-tanθ)=cotθ-1,(其中,a、θ∈R均為常數(shù))
(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)利用函數(shù)y=f(x)構(gòu)造一個(gè)數(shù)列{xn},方法如下:
對(duì)于給定的定義域中的x1,令x2= f(x1),x3= f(x2),…,xn= f(xn-1),…
在上述構(gòu)造過(guò)程中,如果xi(i=1,2,3,…)在定義域中,構(gòu)造數(shù)列的過(guò)程繼續(xù)下去;如果xi不在定義域中,則構(gòu)造數(shù)列的過(guò)程停止.
① 如果可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)常數(shù)列{xn},求a的取值范圍;
② 如果取定義域中的任一值作為x1,都可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{xn},求a實(shí)數(shù)的值.
解:(1)令 則
①×②,并整理,得 y=,
∴y=f(x) =, (x≠a). ………………………………4分
(2)①根據(jù)題意,只需當(dāng)x≠a時(shí),方程f(x) =x有解,
亦即方程 x2+(1-a)x+1-a=0 有不等于的解.
將x=a代入方程左邊,得左邊為1,故方程不可能有解x=a.
由 △=(1-a)2-4(1-a)≥0,得 a≤-3或a≥1,
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是. …………………………9分
②根據(jù)題意,=a在R中無(wú)解,
亦即當(dāng)x≠a時(shí),方程(1+a)x=a2+a-1無(wú)實(shí)數(shù)解.
由于x=a不是方程(1+a)x=a2+a-1的解,
所以對(duì)于任意x∈R,方程(1+a)x=a2+a-1無(wú)實(shí)數(shù)解,
∴ a= -1即為所求a的值. ……………………………………14分
69、已知x>0,由不等式≥2.=2,=≥=3,
…,啟發(fā)我們可以得出推廣結(jié)論:≥n+1 (n∈N*),則a=_________ nn ______.
70、已知存在實(shí)數(shù)(其中)使得函數(shù)是奇函數(shù),且在上是增函數(shù)。
(1)試用觀察法猜出兩組與的值,并驗(yàn)證其符合題意;
(2)求出所有符合題意的與的值。
解:(1)猜想:或;--------------------------------4分
由知,而為奇函數(shù)且在上是增函數(shù)。-------------------------------------------------------------------------6分
由知,而為奇函數(shù)且在上是增函數(shù)。-------------------------------------------------------------------------------------------8分
(2)由為奇函數(shù),有
所以,又,
解得。-----------------------------------------------------------------------------10分
當(dāng)時(shí),為奇函數(shù),由于在上是增函數(shù),所以,由,又在上是增函數(shù),故有,且或,故。----------------------------------------------------------------------------12分
當(dāng)時(shí),為奇函數(shù),由于在上是增函數(shù),所以,由,又在上是增函數(shù),故有,且或2,故 ------------------------------------------------------------14分
所以所有符合題意的與的值為:
或--------------------------------------16分
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