68、已知函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足f(a-tanθ)=cotθ-1,(其中,a、θ∈R均為常數(shù))
(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)利用函數(shù)y=f(x)構(gòu)造一個(gè)數(shù)列{xn},方法如下:
對(duì)于給定的定義域中的x1,令x2=
f(x1),x3= f(x2),…,xn= f(xn-1),…
在上述構(gòu)造過(guò)程中,如果xi(i=1,2,3,…)在定義域中,構(gòu)造數(shù)列的過(guò)程繼續(xù)下去;如果xi不在定義域中,則構(gòu)造數(shù)列的過(guò)程停止.
①
如果可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)常數(shù)列{xn},求a的取值范圍;
②
如果取定義域中的任一值作為x1,都可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{xn},求a實(shí)數(shù)的值.
解:(1)令 則
①×②,并整理,得 y=,
∴y=f(x)
=, (x≠a). ………………………………4分
(2)①根據(jù)題意,只需當(dāng)x≠a時(shí),方程f(x) =x有解,
亦即方程 x2+(1-a)x+1-a=0 有不等于的解.
將x=a代入方程左邊,得左邊為1,故方程不可能有解x=a.
由 △=(1-a)2-4(1-a)≥0,得 a≤-3或a≥1,
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
…………………………9分
②根據(jù)題意,=a在R中無(wú)解,
亦即當(dāng)x≠a時(shí),方程(1+a)x=a2+a-1無(wú)實(shí)數(shù)解.
由于x=a不是方程(1+a)x=a2+a-1的解,
所以對(duì)于任意x∈R,方程(1+a)x=a2+a-1無(wú)實(shí)數(shù)解,
∴
a= -1即為所求a的值.
……………………………………14分