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36.(江西•理•20題)右圖是一個(gè)直三棱柱(以A1B1C1為底面)被一平面所截得到的幾何體,截面為ABC.已知A1B1=B1C1=l,∠AlBlC1=90°,AAl=4,BBl=2,CCl=3。
(I)設(shè)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),證明:OC∥平面A1B1C1;
(II)求二面角B-AC-A1的大小;
(Ⅲ)求此幾何體的體積;
解法一:
(1)證明:作交于,連.
則.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image055.gif">是的中點(diǎn),
所以.
則是平行四邊形,因此有.
平面且平面,
則面.
(2)如圖,過作截面面,分別交,于,.
作于,連.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image575.gif">面,所以,則平面.
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image580.gif">,,.
所以,根據(jù)三垂線定理知,所以就是所求二面角的平面角.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image586.gif">,所以,故,
即:所求二面角的大小為.
(3)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image586.gif">,所以
.
.
所求幾何體體積為
.
解法二:
(1)如圖,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image055.gif">是的中點(diǎn),所以,
.
易知,是平面的一個(gè)法向量.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image601.gif">,平面,所以平面.
(2),,
設(shè)是平面的一個(gè)法向量,則
則,得:
取,.
顯然,為平面的一個(gè)法向量.
則,結(jié)合圖形可知所求二面角為銳角.
所以二面角的大小是.
(3)同解法一.