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38.(寧夏•理•19題)如圖,在三棱錐中,側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形,,為中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.
證明:
(Ⅰ)由題設(shè),連結(jié),為等腰直角三角形,所以,且,又為等腰三角形,故,且,從而.
所以為直角三角形,.
又.
所以平面.
(Ⅱ)解法一:
取中點(diǎn),連結(jié),由(Ⅰ)知,得.
為二面角的平面角.
由得平面.
所以,又,故.
所以二面角的余弦值為.
解法二:
以為坐標(biāo)原點(diǎn),射線分別為軸、軸的正半軸,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè),則.
的中點(diǎn),.
.
故等于二面角的平面角.
,
所以二面角的余弦值為.
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