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1.人教A版選修2-2第79頁例1:已知數(shù)列的第1項,且,試歸納出這個數(shù)列的通項公式.
變式1:已知數(shù)列的第1項,且,試歸納出這個數(shù)列的通項公式.
解:,,…,一般地有;
本題也可以直接求出通項公式.
由得,,即,
所以數(shù)列是首項為,公差為2的等差數(shù)列,則,
而,則.
理科學(xué)生還可以先歸納,提出猜想,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.
變式2:已知數(shù)列的第1項,且,試歸納出這個數(shù)列的通項公式.
解:,,…,一般地有;
本題也可以直接求出通項公式.
由得,,即,
所以數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列,則,
而,則.
由變式(1)、變式(2)你能總結(jié)出什么規(guī)律?
對滿足型的數(shù)列,當(dāng)時采取取倒數(shù)的方法即可得出數(shù)列是等差數(shù)列,再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可求出數(shù)列的通項.
變式3:(2005年高考湖南卷)已知數(shù)列的第1項,且,則
A.0 B. C. D.
解法1:由于,,則,,,由此歸納出數(shù)列是以3為周期的數(shù)列,則,選B.
解法2:,令,則,
則,即,,
而,則,;
變式4:(2007年廣州市高考二模)已知數(shù)列滿足,(),則的值為 , 的值為 .
[思路1]分別求出、、、,可以發(fā)現(xiàn),且,故.
[思路2]由,聯(lián)想到兩角和的正切公式,設(shè),則有,,,,…….
則,故.
從以上變式3到變式5,你能受到什么啟發(fā)呢?結(jié)構(gòu)與兩角和或差正切公式相似,這樣的數(shù)列一定是周期數(shù)列.