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1.人教A版選修2-2第96頁例1 在ΔABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為,且A,B,C成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,求證ΔABC為等邊三角形.
變式1:在ΔABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為,且A,B,C成等差數(shù)列,也成等差數(shù)列,求證ΔABC為等邊三角形.
證明:由A,B,C成等差數(shù)列知,,由余弦定理知,
又也成等差數(shù)列,∴,代入上式得,
整理得,∴,從而,而,則,
從而ΔABC為等邊三角形.
變式2:在ΔABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為,且成等比數(shù)列,成等差數(shù)列,求證ΔABC為等邊三角形.
證明:由于成等比數(shù)列,則,即 ∴(1)
又成等差數(shù)列,則
則,
由于,∴,即 (2)
將(2)式代入(1)式得:,
∴或(舍去),而,∴ (3)
將(3)代入(1)得:,由于,∴,
因此,從而ΔABC為等邊三角形.
變式3:在ΔABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為,且成等比數(shù)列,成等比數(shù)列,求證ΔABC為等邊三角形.
證明:由于成等比數(shù)列,則,即 ∴ (1)
又成等比數(shù)列,則,∴,
即 (2)
將(2)代入(1)得:,∴或(舍去)
而,∴ (3)將(3)代入(1)得:,
由于,∴,因此,從而ΔABC為等邊三角形.
變式4:在ΔABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為,且成等差數(shù)列,成等差數(shù)列,求證ΔABC為等邊三角形.
證明:由于成等差數(shù)列,則=
∴ (1)
又成等差數(shù)列,則,∴,
由于,∴ (2)
將(1)代入(2)得,∴,而,∴ (3)將(3)代入(2)得:,由于,∴,
因此,從而ΔABC為等邊三角形.
變式5: 在ΔABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為,且成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,求證ΔABC為等邊三角形.
證明:由于成等差數(shù)列,則=
∴,則 (1)
又成等比數(shù)列,則,∴,
即 (2)
將(1)代入(2)整理得:
即,分解因式得
,∴或(舍去)或(舍去)
而,∴ (3)將(3)代入(2)得:,
由于,∴,因此,從而ΔABC為等邊三角形.
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