2004年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（理工類 湖南卷）

 

第Ⅰ卷（選擇題  共60分）

 

一、選擇題：本大題 共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求的.

（1）復(fù)數(shù)的值是                                                                                              

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       （A）                  （B）－               （C）4                     （D）－4

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（2）如果雙曲線上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離等于，那么點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離是                      

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       （A）                 （B）13                   （C）5                     （D）

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（3）設(shè)是函數(shù)的反函數(shù)，若，則

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的值為                                                                                               

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（A）1                    （B）2                     （C）3                     （D）

（4）把正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，當(dāng)A、B  C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線BD與平面ABC所成的角的大小為                                                                              

（A）90°               （B）60°               （C）45°               （D）30°

（5）某公司甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150 個(gè)、120個(gè)、180個(gè)、150個(gè)銷售點(diǎn)。公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有20個(gè)特大型銷售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)調(diào)查其收入和售后服務(wù)等情況，記這項(xiàng)調(diào)查為②。則完成①、②這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是

（A）分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法               （B）分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法

       （C）系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法               （D）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法

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（6）設(shè)函數(shù)則關(guān)于x的方程

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解的個(gè)數(shù)為                                                                                       

（A）1                    （B）2                     （C）3                     （D）4

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（7）設(shè)則以下不等式中不恒成立的是                                                       （A）   （B）

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       （C）                   （D）

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（8）數(shù)列           （A） （B） （C） （D）

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       （A）                                                               （B）

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       （C）                                                               （D）

（10）從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，其中直角三角形的個(gè)數(shù)為    （A）56 （B）52 （C）48 （D）40

（11）農(nóng)民收入由工資性收入和其它收入兩部分構(gòu)成。2003年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為3150元(其中工資性收入為1800元，其它收入為1350元), 預(yù)計(jì)該地區(qū)自2004年起的5 年內(nèi)，農(nóng)民的工資性收入將以每年6%的年增長率增長，其它收入每年增加160元。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，2008年該地區(qū)農(nóng)民人均收入介于                           

       （A）4200元~4400元                                                             （B）4400元~4600元

     （C）4600元~4800元                          （D）4800元~5000元

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（12）設(shè)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，

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且則不等式的解集是                 

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（A）                            （B）

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（C）                         （D）

 

第Ⅱ卷（非選擇題  共90分）

 

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二、填空題：本大題 共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上。

（13）已知向量a=，向量b=，則|2a－b|的最大值是             .

（14）同時(shí)拋物線兩枚相同的均勻硬幣，隨機(jī)變量ξ=1表示結(jié)果中有正面向上，ξ=0表示結(jié)果中沒有正面向上，則Eξ=             .

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（15）若的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為84，則n=                .

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（16）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)Pi（i=1，2，3，…）使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…組成公差為d的等差數(shù)列，則d的取值范圍為            .

（17）（本小題滿分12分）

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三、解答題：本大題 共6小題，共74分.  解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

已知的值.

 

                             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（18）（本小題滿分12分）

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甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為,乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為,甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為.

（Ⅰ）分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工零件是一等品的概率；

（Ⅱ）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（19）（本小題滿分12分）

試題詳情

如圖，在底面是菱形的四棱錐P―ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,點(diǎn)E在PD上，且PE:ED=2:1.

（I）證明PA⊥平面ABCD；

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（II）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角的大��；

（Ⅲ）在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使BF//平面AEC？證明你的結(jié)論.

 

 

 

 

 

 

（20）（本小題滿分12分）

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已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

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（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

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（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間[0，1]上的最大值.

 

 

 

 

 

 

 

（21）（本小題滿分12分）

如圖，過拋物線x2=4y的對(duì)稱軸上任一點(diǎn)P（0,m）(m>0)作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).

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（I）設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為，證明:；

（II）設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0，過A、B兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線，求圓C的方程.

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（22）（本小題滿分14分）

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如圖，直線相交于點(diǎn)P.直線l1與x軸交于點(diǎn)P1，過點(diǎn)P1作x軸的垂線交直線l2于點(diǎn)Q1，過點(diǎn)Q1作y軸的垂線交直線l1于點(diǎn)P2，過點(diǎn)P2作x軸的垂線交直線l2于點(diǎn)Q2，…，這樣一直作下去，可得到一系列點(diǎn)P1、Q1、P2、Q2，…，點(diǎn)Pn（n=1，2，…）的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列

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（Ⅰ）證明；

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（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

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（Ⅲ）比較的大小.

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2004年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

試題詳情

 

一．選擇題

（1）D      （2）A     （3）B       （4）C       （5）B     （6）C

（7）B      （8）C     （9）A       （10）C      （11）B    （12）D

二．填空題

（13）4   （14）0.75   （15）9    （16）

三．解答題

（17）解：由

                             

得    又

于是 

      

（18）解：（Ⅰ）設(shè)A、B、C分別為甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件.

①

②

③

  由①、③得  代入②得  27[P(C)]2－51P(C)+22=0.

解得  （舍去）.

將     分別代入 ③、②  可得 

即甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各加工的零件是一等品的概率分別是

（Ⅱ）記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的事件，

則 

故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的概率為

 

（19）（Ⅰ）證明  因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，∠ABC=60°，

由PA2+AB2=2a2=PB2   知PA⊥AB.

同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.

（Ⅱ）解  作EG//PA交AD于G，

由PA⊥平面ABCD.

知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，連結(jié)EH，

則EH⊥AC，∠EHG即為二面角的平面角.

又PE : ED=2 : 1，所以

從而    

（Ⅲ）解法一  以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AD、AP分別為y軸、z軸，過A點(diǎn)垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.由題設(shè)條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為


   

    
    

    
所以 
設(shè)點(diǎn)F是棱PC上的點(diǎn)，則
       令   得
解得      即 時(shí)，
亦即，F(xiàn)是PC的中點(diǎn)時(shí)，、、共面.
又  BF平面AEC，所以當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí)，BF//平面AEC.
解法二  當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí)，BF//平面AEC，證明如下，




 

  
  
    
   
    
    
    
    
    
    由   知E是MD的中點(diǎn).
    連結(jié)BM、BD，設(shè)BDAC=O，則O為BD的中點(diǎn).
    所以  BM//OE.  ②
    由①、②知，平面BFM//平面AEC.
    又  BF平面BFM，所以BF//平面AEC.
    證法二
    因?yàn)?nbsp; 
             

    所以  、、共面.
    又 BF平面ABC，從而BF//平面AEC.
    （20）解：（Ⅰ）
    （i）當(dāng)a=0時(shí)，令 
    若上單調(diào)遞增；
    若上單調(diào)遞減.
    （ii）當(dāng)a<0時(shí)，令
    若上單調(diào)遞減；
    若上單調(diào)遞增；
    若上單調(diào)遞減.
    （Ⅱ）（i）當(dāng)a=0時(shí)，在區(qū)間[0，1]上的最大值是
    （ii）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間[0，1]上的最大值是.
    （iii）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間[0，1]上的最大值是
    （21）解：（Ⅰ）依題意，可設(shè)直線AB的方程為 代入拋物線方程得    
        
①
    設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是
、、x2是方程①的兩根.
    所以     
    由點(diǎn)P（0，m）分有向線段所成的比為，
    得
    又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，
    故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（0，－m），從而.
                   

                   

    所以  
    （Ⅱ）由 得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（6，9）、（－4，4）.
    由   得 
    所以拋物線 在點(diǎn)A處切線的斜率為 
    設(shè)圓C的方程是
    則
    解之得 
    所以圓C的方程是  
    即  
    （22）（Ⅰ）證明：設(shè)點(diǎn)Pn的坐標(biāo)是，由已知條件得
    點(diǎn)Qn、Pn+1的坐標(biāo)分別是：
    由Pn+1在直線l1上，得  
    所以    即  
    （Ⅱ）解：由題設(shè)知 又由（Ⅰ）知 ，
    所以數(shù)列  是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列.
    從而  
    （Ⅲ）解：由得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）.
    所以  
        
    （i）當(dāng)時(shí)，>1+9=10.
    而此時(shí)  
    （ii）當(dāng)時(shí)，<1+9=10.
    而此時(shí)  
     
    
				
	
    
		
    


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