重慶西南師大附中2009屆第七次月考

數(shù) 學 試 題（理）

2009年4月

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．共150分，考試時間120分鐘．

一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．  復數(shù)等于（   ）

A．2                        B．? 2                      C．2i                        D．? 2 i

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2．  集合，則下列結(jié)論正確的是（    ）

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A．                                  B．

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C．                                   D．

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3．  函數(shù)的圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為（    ）

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A．                      B．                        C．                       D．

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4．  設等比數(shù)列{an}中，前n項和為Sn，已知S3 = 8，S6 = 7，則a7 + a8 + a9等于（    ）

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A．                       B．                      C．                      D．

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5．  平面平面的一個充要條件是（    ）

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A．存在一條直線l，              B．存在一個平面

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C．存在一個平面             D．存在一條直線l，

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6．  平面上的向量滿足，若向量，則的最大值為（    ）

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A．                     B．                        C．                       D．

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7．  ①若～，則；②若～N(2，4)，則～N(0，1)；③在某項測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(1，)，若在（0，2）內(nèi)取值的概率為0.8，則在（0，1）內(nèi)取值的概率為0.4．其中正確的命題是（    ）

A．①②                   B．②③                     C．①③                    D．①②③

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8．  已知P是橢圓上的一點，F(xiàn)1、F2是該橢圓的兩個焦點，若△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為，則的值為（    ）

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A．                       B．                        C．                     D．0

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9．  已知函數(shù)，且關于x的方程有6個不同的實數(shù)解，若最小實數(shù)解為 ? 3，則a + b的值為（    ）

A．? 3                      B．? 2                       C．0                         D．不能確定

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10．  若，其中，且，則實數(shù)對（x，y）表示坐標平面上不同點的個數(shù)為（    ）

A．50個                  B．70個                   C．90個                   D．180個

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二、填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分．

11．  的值等于________________．

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12．  在的展開式中，x7的系數(shù)是15，則實數(shù)a = _______________．

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13．  若A為不等式組表示的平面區(qū)域，則當a從? 2 連續(xù)變化到1時，動直線掃過A中的那部分區(qū)域的面積為_______________．

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14．  已知三棱錐S―ABC的各頂點都在一個半徑為r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，，則三棱錐的體積與球的體積之比是_______________．

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15．  關于函數(shù)（a為常數(shù)且a > 0）．對于下列命題：

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①函數(shù)的最小值是? 1；

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②函數(shù)在每一點處都連續(xù)；

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③函數(shù)在R上存在反函數(shù)；

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④函數(shù)在x = 0處可導；

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⑤對任意x1 < 0、x2 < 0且x1≠x2，恒有．

其中正確的命題的序號是___________________．

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三、解答題：本題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

16．  (本小題滿分13分)

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已知A、B、C是△ABC的三個內(nèi)角，向量m =，n =，且m?n = 1．

(1)   求角A；

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(2)   若，求的值．

 

 

 

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17．  (本小題滿分13分)

一次數(shù)學考試中共有10道選擇題，每道選擇題有4個選項，其中有且僅有一個是正確的．評分標準規(guī)定：“每題只選1項，答對得5分，不答或答錯得0分．”某考生每道題都給出了一個答案，已經(jīng)確定有7道題的答案是正確的，而其余題中，有兩道可以判斷出一個選項是錯誤的，還有一道題因完全不會做只能亂猜，試求出該考生：

(1)   得50分的概率；

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(2)   所得分數(shù)的分布列與數(shù)學期望．

 

 

 

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18．  (本小題滿分13分)

如圖，已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是邊長為2的正三角形，且DE = 2AB = 2，F(xiàn)是CD的中點．

(1)   求證：AF∥平面BCE；

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(2)   求面ABC與面EDC所成的二面角的大�。ㄖ磺笃渲袖J角）；

(3)   求BE與平面AFE所成角的大�。�

 

 

 

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19．  (本小題滿分12分)

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已知函數(shù)，其中a > 0．

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(1)   求的單調(diào)區(qū)間；

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(2)   設的最小值為，求證：．

 

 

 

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20．  (本小題滿分12分)

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如圖，已知雙曲線，其右準線交x軸于點A，雙曲線虛軸的下端點為B，過雙曲線的右焦點F（c，0）作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，直線AB交PF于點D，且點D滿足（O為原點）．

(1)   求雙曲線的離心率；

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(2)   若a = 2，過點B的直線l交雙曲線于M、N兩點，問在y軸上是否存在定點C使為常數(shù)？若存在，求出C點的坐標；若不存在，請說明理由．

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21．  (本小題滿分12分)

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已知點P在曲線C：上，曲線C在點P處的切線與函數(shù)的圖象交于點A，與x軸交于點B，設點P的橫坐標為t，點A、B的橫坐標分別為xA、xB，記．

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(1)   求的解析式；

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(2)   設數(shù)列{an}滿足，求數(shù)列{an}的通項公式；

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(3)   在 (2) 的條件下，當1 < k < 3時，證明不等式．

西南師大附中高2009級第七次月考

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2009年4月

一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分．

1．A    2．D    3．B    4．A    5．D    6．C    7．D    8．B    9．B    10．C

二、填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分．

11．                                    12．                                  13．

14．                                  15．①②⑤

三、解答題：本題共6小題，共75分．

16．解：(1) ??????????????????????????????????????? 3分

∴

∵

∴ ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

∴

(2) ????????????????????????????????????????????????????? 8分

∴ ????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

∴ ???????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

∴ ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∴ ?????????????? 13分

17．解：(1) 有兩道題答對的概率為，有一道題答對的概率為??????????????????????????? 2分

∴ ????????????????????????????????????????????????????????? 5分

(2) ?????????????????????????????????????????????????????? 7分

?????????????????????????????? 9分

??????????????????????????????? 11分

∴ 的分布列為

35

40

45

50

P

???????????????????????????????????? 13分

18．(1) 證明：取CE中點M，則 FMDE

∵ ABDE       ∴ ABFM

∴ ABMF為平行四邊形

∴ AF∥BM

又AF平面BCE，BM平面BCE

∴ AF∥平面BCE??????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

(2) 解：過C作l∥AB，則l∥DE     ∴ 平面ABC平面CDE = l

∵ AB⊥平面ACD      ∴ l⊥平面ACD

∴ ∠ACD即為所求二面角的平面角，為60?????????????????????????????????? 8分

(3) 解：設B在平面AFE內(nèi)的射影為，作MN⊥FE于N，作CG⊥EF于G．

∴ BE與平面AFE所成角為

∵ AF⊥CD，AF⊥DE   ∴ AF⊥平面CDE    ∴ AF⊥MN ∴ MN⊥平面AEF

∵ BM∥平面AEF       ∴

由△CGF∽△EDF，得    ∴

而     ∴

∴ ???????????????????????????????????????????????????????????????? 13分

19．解：(1) ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

由       由

∴ 上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增????????????????????????? 5分

(2) ?????????????????????????????????????????? 6分

∵ 上遞減     ∴ ??????????????? 9分

設    ∵    ∴上遞減

∴  即

∴ ???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

20．解：(1)  B（0，? b），A（，0），F(xiàn)（c，0），P（c，）

∵       ∴ D為線段FP的中點，

∴ D為（c，）??????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

∴ ，∴ a = 2b，

∴ ?????????????????????????????????????????????? 5分

(2)  a = 2，則b = 1，B（0，?1）     雙曲線的方程為   ①

設M（x1，y1），N（x2，y2），C（0，m）

由

由已知???????????????????????????? 7分

設

整理得：

對滿足的k恒成立

∴ ．

故存在y軸上的點C（0，4），使為常數(shù)17．????????????????????? 12分

21．解：(1) ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分

切線方程為與y = kx聯(lián)立得：

，令y = 0得：xB = 2t????????????????????????????????????????????????? 3分

∴ ??????????????????????????????????????????????????????? 4分

(2) 由??????????????????????????????????????????????????? 5分

兩邊取倒數(shù)得：      ∴

∴ 是以為首項，為公比的等比數(shù)列（時）

或是各項為0的常數(shù)列（k = 3時），此時an = 1

時??????????????????????????????? 7分

當k = 3時也符合上式

∴????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

(3) 作差得

其中

由于 1 < k < 3，∴

∴

當?????????????????????????????????????????????????? 12分

 

 


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