北京市西城區(qū)2009年3月高三抽樣測試

      數(shù)學理科      2009.3

       本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）。滿分150分，考試時間120分鐘。

第I卷（選擇題，共40分）

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

2．若的     （    ）

A．充分不必要條件     B．必要不充分條件     C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

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3．已知函數(shù)的反函數(shù). 若的圖象過點（3，4），則a等于（    ）       A．  B．  C．  D．2

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4．在正三棱錐P―ABC中，D，E分別是AB，BC的中點，有下列三個論斷：

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①；    ②AC//平面PDE；       ③.

其中正確論斷的個數(shù)為                     （    ）

       A．0個  B．1個  C．2個  D．3個

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5．若的值為    （    ）

       A．9      B．8       C．7       D．6

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6．已知a，b是不共線的向量，R）那么A，B，C三點共線的充要條件為  （    ）

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       A．         B．        C．=－1         D．=1

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7．設雙曲線的半焦距為c，離心率為.若直線與雙曲線的一個交點的橫坐標恰為c，則k等于                     （    ）

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A． B．  C．      D．

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8．如圖，正五邊形ABCDE中，若把頂點A、B、C、D、E染上

       紅、黃、綠、三種顏色中的一種，使得相鄰頂點所染顏色不

       相同，則不同的染色方法共有      （    ）

       A．30種       B．27種      C．24種    D．21種

第Ⅱ卷（非選擇題，共110分）

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二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分. 把答案填在題中橫線上.）

9．設甲、乙、丙三個加工廠共生產(chǎn)玩具6000件，其中甲廠生產(chǎn)了1440件. 現(xiàn)采用分層抽樣的方法從三個加工廠抽取一個容量為500件的樣本進行質(zhì)量檢測，則應從甲加工廠抽取

                 件玩具.

2,4,6

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11．=          .

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12．設R，函數(shù)的最小值是－2，則實數(shù)k=          .

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13．已知正四棱柱ABCD―A1B1C1D1的底面ABCD邊長為1，高AA1=，它的八個頂點都在同一球面上，那么球的半徑是           ；A，B兩點的球面距離為         .

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14．按下列程序框圖運算：

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       規(guī)定：程序運行到“判斷結果是否大于244”為1次運算.

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       若x=5，則運算進行       次才停止；若運算進行k N*）次才停止，則x的取值范圍是             .

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三、解答題（本大題共6小題，共80分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

15．（本小題滿分12分）

試題詳情

       已知為第二象限的角，為第三象限的角，.

試題詳情

   （I）求的值.

試題詳情

   （II）求的值.

2,4,6

試題詳情

設甲、乙兩套試驗方案在一次試驗中成功的概率均為p，且這兩套試驗方案中至少有一套試驗成功的概率為0.51. 假設這兩套試驗方案在試驗過程中，相互之間沒有影響.

   （I）求p的值；

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   （II）設試驗成功的方案的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望E.

 

 

試題詳情

17．（本小題滿分14分）

試題詳情

       如圖，正三棱柱ABC―A1B1C1中，D是BC的中點，AA1=AB=1.

   （I）求證：A1C//平面AB1D；

   （II）求二面角B―AB1―D的大�。�

   （III）求點c到平面AB1D的距離.

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18．（本小題滿分14分）

試題詳情

          設直線與橢圓相交于A、B兩個不同的點，與x軸相交于點C，記O為坐標原點.

試題詳情

   （I）證明：；

試題詳情

   （II）若的面積取得最大值時的橢圓方程.

2,4,6

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19．（本小題滿分14分）

試題詳情

       設a>0，函數(shù).

試題詳情

   （I）若在區(qū)間上是增函數(shù)，求a的取值范圍；

試題詳情

   （II）求在區(qū)間上的最大值.

 

試題詳情

20．（本小題滿分14分）

試題詳情

       設是首項為1，公比為2的等比數(shù)列. 對于滿足的整數(shù)k,

試題詳情

數(shù)列確定. 記.

（I）當k=1時，求M的值；

（II）求M的最小值及相應的k的值.

試題詳情

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.

2,4,6

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

9．120   10．5    11．   12．   13．1（2分），（3分）

14．4（2分），（3分）

三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15．（本小題滿分12分）

   （I）解：因為α為第二象限的角，，

所以，，………………………………………2分

 ……………………………………………………… 4分

又，

所以， …………………………… 6分

   （II）解：因為β為第三象限的角，，

所以， …………………………………………8分

又，………10分

所以， ………………12分

16．（本小題滿分12分）

   （I）解：記這兩套試驗方案在一次試驗中均不成功的事件為A，則至少有一套試驗成功的事件為

    由題意，這兩套試驗方案在一次試驗中不成功的概率均為1－p.

所以，，

 

從而，

令 ………………………………………6分

   （II）解：ξ的可取值為0，1，2. ……………………………………………7分

 ……………………………………………………10分

所以ξ的分布列為

ξ

0

1

2

P

0.49

0.42

0.09

ξ的數(shù)學期望……12分

解法一（I）證明：

連接A1B，設A1B∩AB1 = E，連接DE.

∵ABC―A1B1C1是正三棱柱，且AA1 = AB，

∴四邊形A1ABB1是正方形，

∴E是A1B的中點，

又D是BC的中點，

∴DE∥A1C. ………………………… 3分

∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D，

∴A1C∥平面AB1D. ……………………4分

   （II）解：在面ABC內(nèi)作DF⊥AB于點F，在面A1ABB1內(nèi)作FG⊥AB1于點G，連接DG.

∵平面A1ABB1⊥平面ABC，  ∴DF⊥平面A1ABB1，

∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影，  ∵FG⊥AB1， ∴DG⊥AB1

∴∠FGD是二面角B―AB1―D的平面角 …………………………7分

設A1A = AB = 1，在正△ABC中，DF=

在△ABE中，，

在Rt△DFG中，，

所以，二面角B―AB1―D的大小為 …………………………9分

   （III）解：∵平面B1BCC1⊥平面ABC，且AD⊥BC，

∴AD⊥平面B1BCC1，又AD平面AB1D，∴平面B1BCC1⊥平面AB1D.

在平面B1BCC1內(nèi)作CH⊥B1D交B1D的延長線于點H，

則CH的長度就是點C到平面AB1D的距離. ……………………………12分

由△CDH∽△B1DB，得

即點C到平面AB1D的距離是 ……………………………………14分

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    建立空間直角坐標系D―xyz，如圖，
      
（I）證明：
    連接A1B，設A1B∩AB1 = E，連接DE.
    設A1A
= AB = 1，
    則
     …………………………3分
    ，
     ……………………………………4分
      
（II）解：， ，
    設是平面AB1D的法向量，則，
    故；
    同理，可求得平面AB1B的法向量是 ……………………7分
    設二面角B―AB1―D的大小為θ，，
    ∴二面角B―AB1―D的大小為 …………………………9分
      
（III）解由（II）得平面AB1D的法向量為，
    取其單位法向量
    ∴點C到平面AB1D的距離 ……………………14分
    18．（本小題滿分14分）
      
（I）解：依題意，直線l顯然不平行于坐標軸，故
    將，得
         
① ………………………… 3分
    由直線l與橢圓相交于兩個不同的點，得
    ，
    即 …………………………………………………… 5分
      
（II）解：設由①，得
    因為，代入上式，得  ……………8分
    于是，△OAB的面積 
                         
 ………………11分
    其中，上式取等號的條件是 ……………………12分
     
    由
    將這兩組值分別代入①，均可解出
    所以，△OAB的面積取得最大值的橢圓方程是 ………………14分
    19．（本小題滿分14分）
      
（I）解：對函數(shù) ……………………… 2分
    要使上是增函數(shù)，只要上恒成立，
    即上恒成立 ……………………………………4分
    因為上單調(diào)遞減，所以上的最小值是，
    注意到a > 0，所以a的取值范圍是 ……………………………………6分
      
（II）解：①當時，由（I）知，上是增函數(shù)，
    此時上的最大值是 ……………………8分
    ②當，
    解得 ……………………………………………………10分
    因為，
    所以上單調(diào)遞減，
    此時上的最大值是………… 13分
    綜上，當時，上的最大值是；
    當時，上的最大值是 ……………14分
    20．（本小題滿分14分）
      
（I）解：顯然 ……………………………………1分
    當 ……………………………………3分
    所以，
            
 …………………………6分
      
（II）解：
      
………………………………………………9分
      

         ………………12分
    當
    所以，M的最小值為 ………………………………14分
     
     
    
				
	
    
		
    


    同步練習冊答案
    


    


    






















	
    



    
	







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