20．（本小題滿分12分）

       如圖，在正三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，BB₁=2,BC=2，D為B₁C₁的中點。

   （Ⅰ）證明：B₁C⊥面A₁BD；

   （Ⅱ）求二面角B―AC―B₁的大小。

21．（本小題滿分12分）

       已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=4，a_n+1=2a_n+3ⁿ，n∈N*

   （Ⅰ）證明{ a_n-3ⁿ }是等比數(shù)列；

   （Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，求S_n。

22．（本小題滿分12分）

       已知函數(shù)

   （Ⅰ）若f(x)在x=1處切線與直線x+2y-3=0垂直，求a的值；

   （Ⅱ）若f(x)在為增函數(shù)，求a的取值范圍。

參 考 答 案

1．C      2．D      3．D      4．B      5．B      6．B

7．A      8．C      9．B      10．A     11．D     12．C

13．（-2，0）

14．50

15．

16．2

17．（本小題滿分10分）

   （Ⅰ）證明：設(shè)∠ADB=α，∠BAD=β，則∠ADC=180°-α，∠CAD=β

    由正弦定理得，在△ABD中，                                               ①

       在△ACD中，，                                                          ②

       又                                                                               ③

       由①②③得：????????????????????????????????????????????4分

   （Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理得

         =4+1-2×2×1×cos120°=7.

       故BC=

       設(shè)BD=x，DC=y，則

       x+y=                                                                                                        ④

       由（Ⅰ）得

                                                                                                  ⑤

       聯(lián)立④⑤解得

       故

       在△ABD中，由余弦定理得

         =

       所以????????????????????????????????????????????????????????10分

18．（本小題滿分12分）解：

   （Ⅰ）記“該大學(xué)生通過第一輪筆試”為事件A，

           “該大學(xué)生通過第二輪面試”為事件B，

           “該大學(xué)生通過第三輪試用”為事件C。

則

那么該大學(xué)生未進(jìn)入第三輪考核的概率是

????????????6分

   （Ⅱ）該大學(xué)生未被證實錄取的概率是

    ???????????????12分

19．（本小題滿分12分）解：

   （Ⅰ）由??????????????????4分

   （Ⅱ）設(shè)

          =

       當(dāng)且僅當(dāng)t=2時，△AOP的面積的最小值為2.??????????????????????????????12分

20．（本小題滿分12分）

       方法一：

   （Ⅰ）證明：在Rt△BB₁D和Rt△B₁C₁C中，

       由 得

              △BB₁D∽△B₁C₁C，∠B₁DB=∠B₁CC₁。

       又 ∠CB₁D+∠B₁CC₁=90°

       故 ∠CB₁D+∠B₁DB=90°

       故 B₁C⊥BD.?????????????????????3分

       又 正三棱柱ABC―A₁B₁C₁，D為B₁C₁的中點。

       由 A₁D⊥平面B₁C，

       得 A₁D⊥B₁C

       又A₁D∩B₁D=D，

       所以 B₁C⊥面A₁BD。???????????????????????????????????????????????????6分

   （Ⅱ）解：設(shè)E為AC的中點，連接BE、B₁E。

    在正三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，B₁C=B₁A，∴B₁E⊥AC，BE⊥AC，

       即 ∠BEB₁為二面角B―AC―B₁的平面角?????????????????????????????????9分

       又

       故

       所以  二面角的大小為??????????????????????????????????????12分

       方法二：

   （Ⅰ）證明：設(shè)BC的中點為O，如圖建立空間直角坐標(biāo)系O―xyz

依題意有

則

由

       故 

       又 

       所以

       故

       又  BD∩BA₁=B

       所以 B₁C⊥面A₁BD，

   （Ⅱ）依題意有

       設(shè)⊥平面ACB₁，⊥平面ABC。

       求得

       故

       所以  二面角的大小為??????????????????????????????????????12分

21．（本小題滿分12分）

   （Ⅰ）證明：

       所以數(shù)列{a_n-3ⁿ}是以a₁-3=1為首項，公比為2的等比數(shù)列。???????????????????6分

   （Ⅱ）解：

    由 （Ⅰ）得a_n-3ⁿ=1×2 ^n-1，

    故  a_n=3ⁿ+2 ^n-1

       由  S_n= a₁+a₂+????????+a_n得

        S_n=(3+3²+?????3ⁿ)+(1+2+2²???+2^n-1).

       所以????????????????????12分

22．（本小題滿分12分）解：

   （Ⅰ）由題意得

       直線的斜率為，所以切線斜率為2.

       故

       所以a=2???????????????????????????????????????????????????????????4分

   （Ⅱ）由恒成立，

       即 

       設(shè)

       則 g`(x)=3x²-3ax

       令  g`(x)=0，得x=0，x=a.

       當(dāng)0＜x＜a時，g`(x)＜0，g(x)為減函數(shù)，

       當(dāng)x＞a時g`(x)＞0，g(x)為增函數(shù)，所以x=a是g(x)的最小值點。

       故 

       故 

       所以?????????????????????????????????????????????????????????12分