上海市普陀區(qū)2008學年度第二學期高三年級質量調研

                 數(shù)學試卷 （理科）               2009.04

說明：本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。本套試卷另附答題紙，每道題的解答必須寫在答題紙的相應位置，本卷上任何解答都不作評分依據(jù)。

 

一、填空題（本大題滿分55分）本大題共有11小題，要求直接將結果填寫在答題紙對應的空格中.每個空格填對得5分，填錯或不填在正確的位置一律得零分.

1．若復數(shù)（是虛數(shù)單位），則           . 

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2. 已知函數(shù)，是的反函數(shù)，若的圖像過點，則           .

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3. 用金屬薄板制作一個直徑為米，長為3米的圓柱形通風管.若不計損耗，則需要原材料          平方米（保留3位小數(shù)）.

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4. 設、是平面內一組基向量，且、，則向量可以表示為另一組基向量、的線性組合，即                .

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5. 右圖是某算法的程序框圖，該算法可表示分段函數(shù)，則其輸出結果所表示的分段函數(shù)為                  .

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6. 關于x、y的二元線性方程組 的增廣矩陣經過變換，最后得到的矩陣為，則                    .

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7. 在極坐標系中，設曲線和相交于點、，則＝          .

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8. 設聯(lián)結雙曲線與（，）的個頂點的四邊形面積為，聯(lián)結其個焦點的四邊形面積為，則的最大值為            .

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9. 將函數(shù)的圖像向左平移（）個單位，所得圖像對應的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為           .

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10. 園丁要用紅、黃、藍、白四種不同顏色的鮮花布置如圖所示圓形花壇的四塊區(qū)域. 要求同一區(qū)域內須用同一種顏色的鮮花，相鄰區(qū)域須用不同顏色的鮮花. 設花圃中布置紅色鮮花的區(qū)域數(shù)量為，則隨機變量的數(shù)學期望                   .

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11. 已知數(shù)列是首項為、公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足.若對任意的,都有成立,則實數(shù)的取值范圍是          .

 

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二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題有且只有一個結論是正確的，必須把正確結論的代號寫在答題紙相應的空格中. 每題選對得4分，不選、選錯或選出的代號超過一個（不論是否都寫在空格內），或者沒有填寫在題號對應的空格內，一律得零分.

12. 以下向量中，能成為以行列式形式表示的直線方程的一個法向量的是 （    ）

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   A． ；    B. ；    C. ;     D. .

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13. 設數(shù)列的首項且前項和為.已知向量，滿足，則                                                           （     ）

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   A. ；             B. ;            C. ;              D. .

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14.  在△ABC中，“”是“△ABC為鈍角三角形”的      （     ）

   A．必要非充分條件； B．充分非必要條件； C．充要條件；   D．既非充分又非必要條件.

 

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15. 現(xiàn)有兩個命題：

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（1）     若，且不等式恒成立，則的取值范圍是集合；

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（2）     若函數(shù)，的圖像與函數(shù)的圖像沒有交點，則的取值范圍是集合；

則以下集合關系正確的是                                      （    ）

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A． ；       B. ；       C. ；      D.  .

 

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三、解答題（本大題滿分79分）本大題共有6題，解答下列各題必須在答題紙規(guī)定的方框內寫出必要的步驟.

16. （本題滿分12分）過拋物線的焦點且方向向量為的直線交該拋物線于、兩點，求的值.

 

 

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17. （本題滿分14分） 已知復數(shù)，（是虛數(shù)單位），且.當實數(shù)時，試用列舉法表示滿足條件的的取值集合.

 

 

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18. （本題滿分15分，第1小題6分，第2小題9分）

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若，（、）.

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(1) 求的值；

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（2）求證：數(shù)列各項均為奇數(shù).

 

 

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19. （本題滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）

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某倉庫為了保持庫內的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設施.該設施的下部是矩形，其中米，米.上部是個半圓，固定點為的中點.是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗（陰影部分均不通風），是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和平行的伸縮橫桿（和不重合）.

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（1）當和之間的距離為1米時，求此時三角通風窗的通風面積；

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（2）設與之間的距離為米，試將三角通風窗的通風面積（平方米）表示成關于的函數(shù)；

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（3）當與之間的距離為多少米時，三角通風窗的通風面積最大？并求出這個最大面積.

 

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20. （本題滿分22分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題12分）

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如圖，四棱錐中，平面，四邊形是直角梯形，其中，. ，.

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（1） 求異面直線與所成角的大��；

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（2） 若平面內有一經過點的曲線，該曲線上的任一動點都滿足與所成角的大小恰等于與所成角. 試判斷曲線的形狀并說明理由；

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（3）在平面內，設點是（2）題中的曲線在直角梯形內部（包括邊界）的一段曲線上的動點，其中為曲線和的交點. 以為圓心，為半徑的圓分別與梯形的邊、交于、兩點. 當點在曲線段上運動時，試提出一個研究有關四面體的問題（如體積、線面、面面關系等）并嘗試解決.

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【說明：本小題將根據(jù)你提出的問題的質量和解決難度分層評分；本小題的計算結果可以使用近似值，保留3位小數(shù)】

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

上海市普陀區(qū)2008學年度第二學期高三年級質量調研

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一、填空題（每題5分，理科總分55分、文科總分60分）：

1. ；      2. 理：2；文：；      3. 理：1.885；文：2；

4. 理：；文：1.885；   5. 理：；文：4；   6. 理：；文：；

7. 理：；文：；     8. 理：；文：6；    9. 理：；文：；

10. 理：1； 文：；    11. 理：；文：；     12. 文：；

二、選擇題（每題4分，總分16分）：

題號

理12；文13

理13；文14

理：14；文：15

理15；文：16

答案

A

C

B

C

 

三、解答題：

16.（理，滿分12分）

解：因為拋物線的焦點的坐標為，設、，

由條件，則直線的方程為，

代入拋物線方程，可得，則.

于是，.

 

…2

 

 

…4

 

…8

 

 

…12

17.（文，滿分12分）

解：因為，所以由條件可得，.

即數(shù)列是公比的等比數(shù)列.

又，

所以，.

 

 

 

…4

 

…6

 

 

…8

 

…12

（理）17.（文）18. （滿分14分）

解：因為

所以，

即或，

或，

又由，即

當時，或；當時，或.

所以，集合.

 

 

 

…3

 

 

…7

 

 

 

…11

 

 

 

 

 

 

…14

18.(理，滿分15分，第1小題6分，第2小題9分）

解：（1）當時，

 

故，，所以.

（2）證：由數(shù)學歸納法

（i）當時，易知，為奇數(shù)；

（ii）假設當時，，其中為奇數(shù)；

則當時，

         

所以，又、，所以是偶數(shù)，

而由歸納假設知是奇數(shù)，故也是奇數(shù).

綜上（i）、（ii）可知，的值一定是奇數(shù).

證法二：因為

當為奇數(shù)時，

則當時，是奇數(shù)；當時，

因為其中中必能被2整除，所以為偶數(shù)，

于是，必為奇數(shù)；

當為偶數(shù)時，

其中均能被2整除，于是必為奇數(shù).

綜上可知，各項均為奇數(shù).

 

 

…3

 

 

 

 

 

 

…6

 

 

 

 

…8

 

 

 

 

…10

 

 

 

…14

 

…15

 

 

 

 

 

 

 

 

…10

 

 

 

 

…14

 

…15

19. （文，滿分14分）

解：如圖，設中點為，聯(lián)結、.

由題意，,,所以為等邊三角形，

故，且.

又，

所以.

而圓錐體的底面圓面積為,

所以圓錐體體積.

 

 

 

 

…3

 

 

 

…8

 

…10

 

…14

（理）19. （文）20. （滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）

解：（1）由題意，當和之間的距離為1米時，應位于上方，

且此時中邊上的高為0.5米.

又因為米，可得米.

所以，平方米，

即三角通風窗的通風面積為平方米.

（2）1如圖（1）所示，當在矩形區(qū)域滑動，即時，

的面積；

2如圖（2）所示，當在半圓形區(qū)域滑動，即時，

，故可得的面積

 

；

綜合可得：

（3）1當在矩形區(qū)域滑動時，在區(qū)間上單調遞減，

則有；

2當在半圓形區(qū)域滑動時，

，

等號成立，.

因而當（米）時，每個三角通風窗得到最大通風面積，最大面積為（平方米）.

 

 

 

 

…2

 

 

 

 

…4

 

 

 

 

 

 

…6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…9

 

 

 

 

 

…10

 

 

 

 

 

…12

 

 

 

 

 

 

…15

 

 

 

…16

21（文，滿分18分，第1小題5分，第2小題6分，第3小題7分）

解：（1）設右焦點坐標為（）.

因為雙曲線C為等軸雙曲線，所以其漸近線必為，

由對稱性可知，右焦點到兩條漸近線距離相等，且.

于是可知，為等腰直角三角形，則由，

又由等軸雙曲線中，.

即，等軸雙曲線的方程為.

（2）設、為雙曲線直線的兩個交點.

因為，直線的方向向量為，直線的方程為

.

代入雙曲線的方程，可得，

于是有

而

          .

（3）假設存在定點，使為常數(shù)，其中，為直線與雙曲線的兩個交點的坐標.

   ①當直線與軸不垂直時，設直線的方程為

代入，可得.

   由題意可知，，則有 ，．

于是，

要使是與無關的常數(shù)，當且僅當，此時.

 ②當直線與軸垂直時，可得點,，

 若，亦為常數(shù).

綜上可知，在軸上存在定點，使為常數(shù).

 

 

 

 

 

 

…3

 

 

 

…5

 

 

 

 

 

 

…7

 

 

 

…9

 

 

 

 

 

…11

 

 

 

 

 

 

 

 

…13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…16

 

 

…17

 

…18

 

20（理，滿分22分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題12分）

解：（1）解法一：由題意，四邊形是直角梯形，且∥，

則與所成的角即為.

因為，又平面，

所以平面，則有.

    因為，,

所以，則，

即異面直線與所成角的大小為.

解法二：如圖，以為原點，直線為軸、直線為軸、直線為軸，

建立空間直角坐標系.

于是有、，則有，又

則異面直線與所成角滿足,

    所以，異面直線與所成角的大小為.

（2）解法一：由條件，過作，垂足為，聯(lián)結.

于是有，故與所成角即為.

在平面中，以為原點，直線為軸，直線為軸，建立平面直角坐標系. 設動點，

則有

又平面

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