(二)填空題

　16.直線xsinα+ycosα=m(常量α∈(0，)) 被圓x²+y²=2所截的弦長(zhǎng)為，則m=　　　　 .

　17.拋物線y²=4x的弦AB垂直于x軸，若AB的長(zhǎng)為4，則焦點(diǎn)到AB的距離為　　　　 .

　18.如果方程x²cos2θ+y²sinθ=1，表示橢圓，那么θ 角的取值范圍是　　　　 .

19.設(shè)F₁、F₂是雙曲線=1(a ＞0,b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線上的一點(diǎn)，P與F₁、F₂的連線互相垂直，且∠PF₁F ₂＝15°，則雙曲線的離心率為　　　　　　　 .

(一)選擇題

　1.“點(diǎn)M的坐標(biāo)是方程f(x，y)=0的解”是“點(diǎn)M在方程f(x，y)=0曲線上”的(　　 )

　A.充分不必要條件　　　 B.必要不充分條件

　C.充要條件　　　　　 　D.既非充分又非必要條件

　2.已知圓C的方程為f(x,y)＝0,點(diǎn)A(x₀,y₀)是圓C外的一點(diǎn)，那么方程f(x,y)-f(x₀,y₀)＝0表示的曲線(　　 )

　A.可能不是圓

　B.是與圓C重合的圓

　C.是過A點(diǎn)與圓C相交的圓

　D.是過A點(diǎn)且與圓C同心的圓

　3.橢圓(1-m)x²-my²=1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是(　　 )

　A.　　 　　　　　　　　　B.

　C. 　　　　　　　　　　D.

　4.下列各對(duì)雙曲線中，既有相同離心率又有相同漸近線的是(　　 )

　A. -y²=1和=1　　　　 B. -y²=1和y²-=1

　C.y²-=1和x²-=1　　　　　 D. -y²=-1和-=1

　5.拋物線y＝x²(m＜0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(　　 )

　A.(0,)　　　　　　　　　　　 B.(0,- )

　C.(0, )　　　　　　　　　　 D.(0,- )

　6.已知橢圓=1　 (a＞b＞0)的兩 個(gè)焦點(diǎn)把夾在兩條準(zhǔn)線間的線段三等分，那么這個(gè)橢圓的離心率是(　　 )

　A. 　　　B. 　　　　C.　　　 D.

　7.過拋物線y²=2px(p＞0)的焦點(diǎn)作一條直線l交拋物線于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)兩點(diǎn) ，則的值為(　　 )

　A.4　　　 B.-4　 　　　　　　C.p² 　　　B.-p²

　8.過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，有垂直于實(shí)軸的弦PQ，F(xiàn)′是另一個(gè)焦點(diǎn)，若∠PF′Q=，則雙曲線離心率是(　　 )

　A.+2　　　 B. +1　　　 C. 　　　D. -1

　9.x²+2x+y²+4y-3=0上到直線x+y+1=0的距離為的點(diǎn)共有(　　 )

　A.1個(gè)　　　　 B.2個(gè)　　 　　C.3個(gè)　　　　 D.4個(gè)

　10.橢圓的兩準(zhǔn)線方程分別為x=，x=-，一個(gè) 焦點(diǎn)坐標(biāo)為(6，2)，則橢圓方程是(　　 )

　A. =1 　　　B. =1

　C. =1 　　　D. =1

　11.設(shè)雙曲線=1的兩條漸近線含 實(shí)軸的夾角為θ，而離心率e∈［，2］，則θ的取值范圍是(　　 )

　A.［，］　　　 B.［，］　　 C.［，］　　　　 D.［， π］

　12.圓心在拋物線x²=2y上，且與y軸和該拋物線的準(zhǔn)線都相切的一個(gè)圓的方程是(　　 )

　A.x²+y²-x-2y-=0　　　　　 B.x²+y²+x-2y+1=0

　C.x²+y²+2x-y+1=0　　　　　 D.x²+y²-2x-y+=0

　13.和x軸相切，且和圓x²+y²=1外切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程是(　　 )

　A.x²=2y+1　　　　　　　　　　　　　 B.x²=-2y+1

　C.x²=2y+1或x²=-2y+1　　　　　　　　 D.x²=2│y│+1

　14.已知A＝{(x,y)｜x²+y²=1},B={(x,y)｜y²=2(x-a)};若A∩B=，則實(shí)數(shù)a的取值 范圍是(　　 )

　A.a＜-1　　　　　 B.a＞1　　　　　　 C.a＜-2　　　　　 　D.a＜-1或a＞1

　15.已知0＜a＜1＜b，那么曲線a²x²-a²y²=log_ab是(　　 )

　A.焦點(diǎn)在x軸的雙曲線

　B.焦點(diǎn)在y軸的橢圓

　C.焦點(diǎn)在x軸的等軸雙曲線

D.焦點(diǎn)在y軸的等軸雙曲線

(八)綜合例題賞析

　例9　 設(shè)甲、乙、丙是三個(gè)命題，如果甲是乙的必要條件；丙是乙的充分條件但不是乙的必要條件，那么(　　 )

　A.丙是甲的充分條件，但不是必要條件

　B.丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件

　C.丙是甲的充要條件

　D.丙不是甲的充分條件，也不是甲的必要條件

　解　 “甲是乙的必要條件”，即“甲乙”，“丙是乙的充分不必要條件”，即“丙乙， 且丙乙”。

　因　 丙乙甲

　即丙是甲的充分不必要條件

　故　 應(yīng)選A.

　例10　 已知直線x=a(a＞0)和圓(x-1)²+y²=4相切 ，那么a的值是(　　 )

　A.5　　 B.4　　 C.3　　 D.2

　解：r=2，圓心(1，0)，a＞0，∴a＝3

應(yīng)選C.

　例11　 設(shè)圓滿足：①截y軸所得的弦長(zhǎng)為2；②被x軸分成 的兩段弧，其弧長(zhǎng)的比為3∶1在滿足條件①、②的所有圓中，求圓心到直線l∶x-2y=0的距 離最小的圓的方程

　解：設(shè)所求圓的圓心P(a,b)半徑r

　由題設(shè)知，P到x,y軸的距離分別為｜b｜,｜a｜,且圓P截x軸的弦所對(duì)圓心角為90°，故其弦 長(zhǎng)為r,有r²=2b²

　由“圓P截y軸所得弦長(zhǎng)為2”有r²=a²+1

　∴2b²-a²=1

　P(a,b)到直線x-2y=0的距離為

　d=,得

　5d²=｜a-2b｜²=a²+4b²-4ab≥a²+4b²-2(a²+b²)

　　　　　　　 2b²-a²=1

　當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)上式等號(hào)成立，此時(shí)5d²=1從而d取得最小值

　由此有　 解得 或

　又由r²=2b²,得r²=2.

　∴所求圓方程是(x-1)²+(y-1)²=2,或(x+1)²+(y+1)²=2

　例12　 已知圓滿足：①截y軸所得弦長(zhǎng)為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的 比為3∶1；③圓心到直線l∶x-2y=0的距離為，求該圓的方程

　解　 設(shè)已知圓的圓心P(a,b)，半徑為r，由題設(shè)已知圓P截x軸所得劣弧所對(duì)的圓心角是90°，從而圓P截x軸所得弦長(zhǎng)為r，又點(diǎn)P到x,y軸的距離分別為｜b｜,｜a｜圓P 截y軸所得弦長(zhǎng)為2。

　r²=a²+1　　　　　 (1)

　由已知有，點(diǎn)P到直線x-2y=0的距離為，即

　d=　　　　 (2)

　由圓P截y軸的弦長(zhǎng)為2，易知｜b｜=1　 (3)

　(2)、(3)聯(lián)立，可得　 或　 代入(1)又得r=

　于是所求圓的方程為(x+1)²+(y+1)²或(x-1)²+(y-1)²＝2

　例13　 設(shè)橢圓=1　 (a＞b＞0) 的右焦點(diǎn)為F₁，右準(zhǔn)線為l₁.若過F₁且垂直于x軸的弦的長(zhǎng)等于點(diǎn)F₁到l₁的距離， 則橢圓的離心率是　　　　　 .

　解：

　例14　 設(shè)直線2x-y-=0與y軸的交點(diǎn)為P，點(diǎn)P把圓(x+1)²+y² ＝25的直徑分為兩段，則其長(zhǎng)度之比是(　　 )

　A.或　　　 B. 或　　　 C. 或 　　　D. 或

　解：如下圖

　圓(x+1)²+y²＝25的圓心坐標(biāo)是(-1,0)，半徑r=5。

　直線l：2x-3-＝0與y軸的交點(diǎn)P的坐標(biāo)是(0，-)。

　設(shè)點(diǎn)P在直徑AB上，所求即

�。黀A｜∶｜PB｜。

　由于｜O′P｜＝｜＝2

　則　 ｜PA｜∶｜PB｜＝(r+2)∶(r-2)＝7∶3或

　　　 ｜PA｜∶｜PB｜＝(r-2)∶(r+2)＝3∶7或

　故　 應(yīng)選A。

　例15　 設(shè)雙曲線=1(0＜a＜b)的半焦距為C，直線1過(a,0),(0,b)兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線1的距離為c，則雙曲線的離心率為(　　 )

　A.2.　　　 B.　　　 C.　　 　D.

　解：∵直線1過(a,0)，(0,b),

　∴1的方程為=1,

　即bx+ay-ab=0

　∵原點(diǎn)(0，0)到1的距離為c，由點(diǎn)到直線的距離公式 ，得c=又0＜a＜b,雙曲線中c²=a²+b²,

　∴

　整理得a²-4ab+b²=0,b=a.

　∴c²=a²+b²=4a²,c=2a,e==2.

　應(yīng)選A.

　例16　 設(shè)F₁和F₂為雙曲線-y² =1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足∠F₁PF₂=90°.則△F₁PF₂的面積是(　　 )

　A.1　　　　 B.　　　　　 C.2　　　　　 D.

　解：由已知可得，F(xiàn)₁(-，0)，F(xiàn)₂(，0)

　∴｜F₁F₂｜=2,｜F₁F₂｜²=20

　由∠F₁PF₂=90°,

　得20=｜F₁F₂｜²＝｜PF₁｜²+｜PF₂｜²　　　　　　 ①

　由雙曲線定義得︳PF₁︳-︳PF₂︳=2a=4，平方得

　｜PF₁｜²+｜PF₂｜²-2｜PF₁｜·︳PF₁｜=16　　　　　 ②

�、�-②得2｜PF₁｜·｜PF₂｜=4

　∴S_△F1PF2=｜PF₁｜·｜PF₂｜

　應(yīng)選A.

　例17　 雙曲線-x²=1的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是　　　　　 .

　解：(0，)，(0，-)

　例18 　如果雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為2，焦距為6，那么該 雙曲線的離心率是(　　 )

　A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.2

　解：由題設(shè)知a=2,c=3.

　∴e=.

　應(yīng)選C.

　例19　 已知點(diǎn)(-2，3)與拋物線y²=2px(p＞0)的焦點(diǎn) 的距離是5，則p=　　　　　　 .

　解：y²=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(，0)，

　∴5=

　解出p=4.

　例20　 直線l過拋物線y²=a(x+1)(a＞0)的焦點(diǎn)，并 且與x軸垂直，若l被拋物線截得的線段長(zhǎng)為4，則a=　　　　 .

　解：設(shè)拋物線焦參數(shù)為p，則a=2p(p＞0).

　l是過焦點(diǎn)的直線且垂直于x軸即垂直于拋物線y²=a(x+1)的對(duì)稱軸.

　∴l(xiāng)被拋物線截得的線段即正焦弦長(zhǎng).

　∴4=2p=a，即a=4.

　例21　 如果三角形的頂點(diǎn)分別是O(0，0)，A(0，15)，B(-8 ，0)，那么它的內(nèi)切圓方程是　　　　　　　 。

　解：設(shè)內(nèi)切圓心為O′，則O′到x、y軸等距，其距離即內(nèi)切圓半徑r，又O′在第四象限木， 所以O(shè)′(r,-r)。

　直線AB的方程是＝18x-15y-120＝0

　即±17r＝23r-120，解得r＝3(已舍負(fù)值)。

　例22　 焦點(diǎn)在(-1，0)，頂點(diǎn)在(1，0)的拋物線方程是 (　　 )

　A.y²=8(x+1)　　　　　 B.y²=-8(x+1)

　C.y²=8(x-1)　　　　　 D.y²=-8(x-1)

　解：設(shè)拋物線焦參數(shù)為p，則焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的距離是，即==2，得p=4.

　又拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，焦點(diǎn)是(-1，0)，

　∴y²=-8(x-1)為所求.

　應(yīng)選D.

　例23　 圓x²+y²-2x＝0和圓x²+y²-4x＝0的位置關(guān)系是(　　 )

　A.相離　　　 B.外切　　　 C.相交　　　 D.內(nèi)切

　解　 C₁∶(x-1)²+y²＝1,O₁(1,0),r₁＝1

　　　 C₂∶x²+(y-2)²＝4,O₂(0,2),r²＝2

　因　 ｜O₁O₂｜＝＜r₁+r₂＝3,且＞｜r₁-r₂｜＝1,

　則　 兩圓相交

　應(yīng)選C。

　例24　 設(shè)曲線C的方程是y=x³-x，將C沿x軸、y軸正 向分別平行移動(dòng)t、s單位長(zhǎng)度后得曲線C₁.

　(1)寫出曲線C₁的方程；

　(2)證明曲線C與C₁關(guān)于點(diǎn)A(，)對(duì)稱；

　(3)如果曲線C與C₁有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，證明S=-t且t≠0.

　解：(1)曲線C₁的方程為

　y=(x-t)³-(x-t)+s

　(2)在曲線C上任取點(diǎn)B₁(x₁，y₁)，設(shè)B₂(x₂，y₂)是B₁關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，則有，，

　∴x₁=t-x₂，y₁=s-y₂

　代入曲線C的方程，得x₂和y₂滿足方程：

　S-y₂=(t-t₂)³-(t-x₂)，

　即y₂=(x₂-t)²-(x₂-t)+s，

　可知點(diǎn)B(x₂-y₂)在曲線C₁上

　反過來，同樣可以證明，在曲線C₁上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)在曲線C上，

　∴曲線C與C₁關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱.

　(3)∵曲線C與C₁有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，

　∴方程組，有且僅有一組解.

　消去y，整理得

　3tx²-3t²x+(t³-t-S)=0，

　這個(gè)關(guān)于x的一元二次方程有且僅有一個(gè)根

　∴t≠0，并且其根的判別式

　Δ=9t⁴-12t(t³-t-S)=0.

　即

∴S=-t且t≠0

　例25　 已知橢圓=1，直線L∶=1，P是L上 一點(diǎn)，射線OP交橢圓于R，又點(diǎn)Q在OP上且滿足│OQ│·│OP│=│OR│²，當(dāng)點(diǎn)P在L上移動(dòng) 時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.

　解：如圖.

　由題設(shè)知Q不在原點(diǎn)，設(shè)P、R、Q的坐標(biāo)分別為(x_P，y_P)、(x_R，y_R)、(x，y)其中x ，y不同時(shí)為零.

　當(dāng)點(diǎn)P不在y軸上時(shí)，由于點(diǎn)R在橢圓上及點(diǎn)O、Q、R共線，得方程組；

　　 解得

　由于點(diǎn)P在直線l上及點(diǎn)O、Q、P共線，得方程組：

　　 ③，解得　 ④

　當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)①-④也成立.

　∵│OQ│·│OP│=│OR│²

　∴·，

　將(1)-(4)代入上式，化簡(jiǎn)整理得

　.

　因x與x_P同號(hào)或y與y_P同號(hào)，以及③、④知2x+3y＞0，

　∴點(diǎn)Q的軌跡方程為=1.其中(x，y不同時(shí)為零)

　點(diǎn)Q的軌跡是以(1，1)為中心，長(zhǎng)短半軸分別為和且長(zhǎng)軸平行于x軸的橢圓.

　解法二：由題設(shè)知點(diǎn)Q不在原點(diǎn).

　設(shè)P、R、Q的坐標(biāo)分別為(x_P，y_P)，(x_R，y_R)，(x,y)其中x，y不同時(shí)為零.

　設(shè)OP寫x軸正方向的夾角為α，則有

　　　 x_P=│OP│cosα，y_P=│OP│sinα；

　　　 x_R=│OR│cosα，y_R=│OR│sinα；

　　　 x=│OQ│cosα，y=│OQ│sinα；

　又│OP│·│OQ│=│OR│²，可得

　　 ①　 �、�

　∵點(diǎn)P在直線l上，點(diǎn)R在橢圓上，

　∴，將(1)、(2)代 入，得

　=1.(其中x，y不同時(shí)為零).

　∴Q點(diǎn)的軌跡是以(1，1)為中心，長(zhǎng)短半軸分別為和且長(zhǎng)軸平行于x軸的橢圓(去掉坐標(biāo)原點(diǎn)).

　例26　 已知直線L過坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)、焦 點(diǎn)在x軸正半軸上，若點(diǎn)A(-1，0)和點(diǎn)B(0，8)關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)都在C上，求直線L和拋物線的 方程.

　解法一：如圖.

　由題意可設(shè)拋物線C的方程為y²=2px　 (p＞0)，且x軸和y軸不是所求直線，又l過原點(diǎn)，所 以可設(shè)l的方程y=kx　 (k≠0)①

　設(shè)A′、B′分別是A、B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，則有，

　A′A⊥l，直線AA′的方程為

　　　　　 y=-(x+1).②

　由①、②聯(lián)立得AA′與l的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-，-).

　由M為AA′的中點(diǎn)，得點(diǎn)A′的坐標(biāo)為，

　　　 x_A′=2(-)+1=，

　y_A′=2()+0=-③

　同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(，).

　∵A′、B′均在拋物線y²=2px　 (R＞0)上，

　∴(-)²=2p·，知k≠±1 ，p=.

　同理()²=2p·，得p=.

　∴，

　整理得k²-k-1=0.

　解得k₁=，k₂=.

　但當(dāng)k=時(shí)， =-＜0，與A′在拋物線y²=2px上矛盾，故舍去.

　把k=代入p=.

　∴直線方程為y=x，拋物線方程為y²=x.

　解法二：設(shè)點(diǎn)A、B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′(x₁，y₁)、B′(x₂，y₂)，則有

　│OA′│=│OA│=1，│OB′│=│OB│=8

　設(shè)x軸正向到OB′的轉(zhuǎn)角為α，則有

　　　 x₂=8cosα，y₂=8sinα 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

　∵A′，B′是A，B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，

　又∠BOA是直角，

　∴∠B′OA′為直角，得

　x₁=cos(α-)=sin α，y₁=sin(α-)=-cosα　　　　　　　　　 　②

　由題意知，x₁＞0，x₂＞0，故α為第一象限角.

　∵A′，B′都在拋物線y²=2px上，

　∴cos²α=2p·sinα，64sin²α=2p· cosα

　∴8sin³α=cos³α，得2sinα=c osα

　解得sinα=，cosα=.

　代入cos²α=2psinα，得p=.

　∴拋物線方程為y²=x.

　∵直線l平分∠BOB′，

　∴l(xiāng)的斜率k=tg(α+(-α))=tg(+)

　=.

　∴　 直線l的方程為y=x.

　例27　 在面積為1的△PMN中，tgM=，tgN=-2，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出M、N為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓方 程.

　解：如圖

　以MN所在直線為x軸，以線段MN的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系.

　設(shè)以M、N為焦點(diǎn)且過P點(diǎn)的橢圓的方程為

　=1　 (a＞b＞0)

　點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為(-c,0)、(c,0).

　由tgM=，tg∠PNx=tg(π-∠MNP)=2，得

　直線PM和直線PN的方程分別為

　y= (x+c),y=2(x-c).

　將兩方程聯(lián)立得，即P(c,c).

　已知△MNP的面積為1，

　∴1=｜MN｜·y_P=·2c·c=c²，

　得c=，P(，).

　∵｜PM｜=

　=，

�。黀N｜=

　=，

　∴2a=｜PM｜+｜PN｜=,a=，

　　 b²=a²-c²=()²-()²=3 .

　∴=1為所求橢圓方程.

　例28　 自點(diǎn)A(-3，3)發(fā)出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直 線與圓x²+y²-4x-4y+7＝0相切，求光線L所在的直線方程。

　解　 設(shè)反射光線為L(zhǎng)′

　由于　 L和L′關(guān)于x軸對(duì)稱，L過點(diǎn)A(-3，3)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(-3，-3)，

　于是　 L′過A(-3，-3)。

　設(shè)L′的斜率為k，則L′的方程為

　y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，

　已知圓方程即(x-2)²+(y-2)²＝1，圓心O的坐標(biāo)為(2，2)，半徑r＝1

　因L′和已知圓相切，則O到L′的距離等于半徑r＝1

　即

　整理得12k²-25k+12＝0

　解得k＝或k＝

　L′的方程為y+3＝ (x+3);或y+3＝ (x+3)。

　即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0

　因L和L′關(guān)于x軸對(duì)稱

　故L的方程為4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0。

　例29　 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1 與該橢圓相交于P和Q，且OP⊥OQ，｜PQ｜=，求橢圓的方程.

　解：設(shè)所求橢圓的方程為=1.

　依題意知，點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)滿足方程組：

　　　　

　將②代入①，整理得

　　　　　　 (a²+b²)x²+2a²x+a²(1-b²)=0，　　　 　　　　　　　　　　�、�

　設(shè)方程③的兩個(gè)根分別為x₁、x₂，則直線y=x+1和橢圓的交點(diǎn)為，

　P(x₁,x₁+1)，Q(x₂,x₂+1)

　由題設(shè)OP⊥OQ，｜OP｜=，可得

　

　整理得

　

　解這個(gè)方程組，得

　或

　根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，由(3)式得

　(Ⅰ)　 或　 (Ⅱ)

　解方程組(Ⅰ)、(Ⅱ)得

　　 或

　故所求橢圓方程為

　=1，或=1.

　例30　 如圖所示，給出定點(diǎn)A(a,0)(a＞0)和直線l∶x＝-1，B是直線l上的動(dòng) 點(diǎn)，∠BOA的角平分線交AB于C，求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示曲線類型與a值的關(guān)系。

　本小題主要考查曲線與方程，直線和圓錐曲線等基礎(chǔ)知識(shí)以及求動(dòng)點(diǎn)軌跡的基本技能和綜合 運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。

　解法一　 依題意，記B(-1，b)(b∈R)，則直線OA和OB的方程分別為y＝0和y＝-bx。

　設(shè)點(diǎn)C(x,y)，則有0≤x＜a，則OC平分∠AOB，知點(diǎn)C到OA、OB距離相等，根據(jù)點(diǎn)到直線的距 離公式得

　　　　　　　　　 ｜y｜＝　　 　　　　　　　　　　　　　�、�

　依題設(shè)，點(diǎn)C在直線AB上，故有

　　　　　　　　　 y＝- (x-a)

　由x-a≠0得b＝-　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

　將②式代入①式得

　y²［1+］＝［y-］²

　整理得　 y²［(1-a)x²-2ax+(1+a)y²］＝0

　若y≠0,則(1-a)x²-2ax+(1+a)y²＝0(0＜x＜a＝；

　若y=0，則b＝0,∠AOB＝π，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，0)，滿足上式，

　綜上得點(diǎn)C的軌跡方程為

　(1-a)x²-2ax+(1+a)y²＝0(0≤x＜a)。

　(Ⅰ)當(dāng)a＝1時(shí)，軌跡方程化為y＝x(0≤x＜1);　　　　　　　　　 ③

　此時(shí)，方程③表示拋物線孤段；

　(Ⅱ)當(dāng)a≠1時(shí)，軌跡方程化為

　＝1(0≤x＜a)。　　　　　　　　　　　　　 ④

　所以，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，方程④表示橢圓弧段。

　當(dāng)a＞1時(shí)，方程④表示雙曲線一支的弧段。

　解法二　 如圖所示，設(shè)D是I與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE⊥x軸，E是垂足。

　(Ⅰ)當(dāng)｜BD｜≠0時(shí)，設(shè)點(diǎn)C(x,y)，則0＜x＜a,y≠0。

　由CE∥BD得

　｜BD｜＝(1+a)

　因　 ∠COA＝∠COB＝∠COD-∠BOD

　則　 2∠COA＝π-∠BOD,

　tg(2∠COA)＝,tg(π-∠BOD)＝-tg∠BOD

　又因　 tg∠COA＝,tg∠BOD＝ (1+a)。

　故　 　(1+a)。

　整理得　 (1-a)x²-2ax+(1+a)y²＝0　 (0≤x＜a)。

　(Ⅱ)當(dāng)｜BD｜＝0時(shí)，∠BOA＝π，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，0)，滿足上式。

　綜合(Ⅰ)，(Ⅱ)，得點(diǎn)C的軌跡方程為

　(1-a)x²-2ax+(1+a)y²＝0(0≤x＜a＝。

　例31　 已知點(diǎn)P在直線x=2上移動(dòng)，直線l通過原點(diǎn)且OP垂直 ，過點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)P的直線m和直線l交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程，并指出該軌跡的名稱和它 的焦點(diǎn)坐標(biāo).

　解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，y₁)，則直線OP的斜率

　k_OP=.

　∵l⊥直線OP.

　∴直線l的斜率k₁滿足k_OP·k₁=-1，即·k₁=-1，得k ₁=-.

　又直線l過原點(diǎn)，所以l的方程為y=-x.

　∵直線m過點(diǎn)A(1，0)，P(2，y₁).

　∴m的方程為y₁x-y-y₁=0

　由l的方程得y₁=-代入m的方程得--y+=0，即2x²+y²-2x=0.

　顯然點(diǎn)Q與點(diǎn)A(1，0)不重合，故x≠1.

　又2x²+y²-2x=0可化為

　　　 =1　 (x≠1)，

　∴Q點(diǎn)的軌跡是挖去點(diǎn)(1，0)的橢圓，該橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(，)和(，-).

[同步達(dá)綱練習(xí)]

(七)坐標(biāo)軸的平移，利用坐標(biāo)的平移化簡(jiǎn)圓錐曲線方程

　說明坐標(biāo)軸的平移變換是化簡(jiǎn)曲線方程的一種重要方法.掌握平移坐標(biāo)軸的關(guān)鍵在于正確理解新舊坐標(biāo)系之間的關(guān)系.同一個(gè)點(diǎn)在不同的坐標(biāo)系中有不同的坐標(biāo)，同一 條曲線在不同的坐標(biāo)中有不同的方程.

　例7　 方程x²+4y²+6x-8y+1=0的對(duì)稱中心是(　　 )

　A.(-3，-1)　　　　　　　　　　　　 B.(-3，1)

　C.(3，-1)　　　　　 　　　　　　　　D.(3，1)

　解：　 將原方程配方后化為=1，∴ 對(duì)稱中心是(-3，1).故選B.

　例8　 求橢圓9x²+4y²-36x+8y+4=0的焦點(diǎn)坐標(biāo)、長(zhǎng)軸與短軸的長(zhǎng)、離心率 及準(zhǔn)線方程.

　解：　 將原方程配方后化成

　=1.

　令.得到新方程為＝1.

　∴a=3,b=2,c==.

　即長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=6，短軸長(zhǎng)2b=4，離心率e＝＝.在新坐標(biāo)系中，焦點(diǎn)為(0，)，(0，-)，

　準(zhǔn)線為y′＝±＝±

　由平移公式，得在原坐標(biāo)系中

　焦點(diǎn)為：(2，-3)、(2，--3)，

　準(zhǔn)線為：y=±-3.

(六)拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、拋物線的幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱 性、頂點(diǎn)、離心率，拋物線的畫法

　說明　 這部分內(nèi)容要注意與初中講的拋物線y=ax²+bx+c(a≠0)的關(guān)系，以 及拋物線與雙曲線一支的區(qū)別，y=ax²+bx+c的對(duì)稱軸平行于y軸(或就是y軸)，雙曲線有漸 近線，拋物線無漸近線.

　例6　 如圖，過拋物線y²=4x的頂點(diǎn)O作任意兩條互 相垂直的弦OM、ON，求(1)MN與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求MN中點(diǎn)的軌跡方程。

　解　 (1)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,2),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(n,-2)，

　由已知，OM²+ON²＝MN²，則　 m²+4m+n²+4n=(m-n)²+(2+2)²，mn＝16。

　直線MN:

　當(dāng)y=0時(shí)，x=＝4

　所以　 MN與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，0)。

　(2)又因設(shè)弦MN的中點(diǎn)為P(x,y),

　

　y²＝m+n-2=2x-8

　故　 弦MN的中點(diǎn)軌跡為y²=2x-8

(五)雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)、焦距，雙曲線的幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱 性、頂點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線、離心率、準(zhǔn)線，雙曲線的畫法，等邊雙曲線

　說明　 根據(jù)已知條件會(huì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的有關(guān)元素.這里與橢圓不同的是實(shí)軸、虛軸和漸近線.

　例5　 已知雙曲線＝1(＜θ＜π)過點(diǎn)

　A(4，4).

　(1)求實(shí)軸、虛軸的長(zhǎng)；

　(2)求離心率；

　(3)求頂點(diǎn)坐標(biāo)；

　(4)求點(diǎn)A的焦半徑.

　解：　 因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)A(4，4)，所以

　＝1，tg²θ+tgθ-2＝0 ，tgθ＝-2，(tgθ=1舍去，因?yàn)?sub>＜θ＜π)

　∴雙曲線方程為-＝1.

　從而a=2,b=4,c=2.

　(1)實(shí)軸長(zhǎng)2a=4，虛軸長(zhǎng)2b＝8.

　(2)離心率e＝＝.

　(3)頂點(diǎn)為(0，2)，(0，-2).

　(4)焦點(diǎn)F₁(0，-2)，F(xiàn)₂(0，2).

�。麬F₁｜＝

　　　　 �。�2(+1)，

�。麬F₂｜＝

　　　　 　＝2(-1).

(四)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)、焦距，橢圓的幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、長(zhǎng)袖、短軸、離心率、準(zhǔn)線，橢圓的畫法

　說明　 天體的運(yùn)行軌道基本都是橢圓，所以掌握橢圓的基本概念是很有必要的.考試說明中明確要求，要會(huì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的有關(guān)元素.

　例4　 橢圓的中點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的離心率e=,橢圓各點(diǎn)到直線x-y++=0的最短距離為1，求此橢圓的方程 。

　解　 因?yàn)閑==，所以a=2b.

　設(shè)　 M(2bcosθ，bsinθ)為橢圓上任一點(diǎn)，則M到直線x-y++＝0的 距離為

　d=.

　而d的最小值為1。＝1，則b＝1，故所求橢圓方程為+y²＝1.

(三)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程

　說明　 求圓的方程主要是求出其圓心與半徑.還要掌握一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程 的互化，以及圓與其他曲線之間的關(guān)系，特別是圓與直線之間的關(guān)系.

　例3　 圓A：(x+1)²+(y+1)²=1，

　圓B：(x-1)²+(y-1)²=4，則有兩圓的公切線有(　　 )

　A.1條　　　 B.2條　　　 C.3條　　　 D.4條

　解：　 要判斷兩圓公切線的條數(shù)，只需要判斷出此兩圓的位置關(guān)系，而不必求出其切線方程 .∵A圓圓心是C₁(-1,-1)，B圓圓心是C₂(1，1)，∴｜C₁C₂｜＝2，r₁＝1，r₂＝2.

　r₁+r₂＞｜C₁C₂｜即圓A與圓B相離，則此兩圓有4條公切線.故選D.

(二)充要條件

　說明　 充分條件、必要條件、充要條件是高考考查的重要內(nèi)容.要掌握好這幾種條件，關(guān)鍵在于要對(duì)命題之間的關(guān)系很清楚.

　例2　 直線與平面平行的充要條件是這條直線與平面內(nèi)的(　　 )

　A.一條直線不相交　　　　　　　 B.兩條直線不相交

　C.任意一條直線都不相交　　　　 D.無數(shù)條直線不相交

　解：把“直線與平面平行”作為甲命題，在四個(gè)選項(xiàng)中選出一個(gè)是甲命題的充要條件的命題 。因?yàn)橹本�與平面平行的定義是直線與平面無交點(diǎn)，而A、B、D三個(gè)選項(xiàng)都 不能保證此條件，只有C能保證，故選C

(一)曲線和方程，由已知條件列出曲線的方程，曲線的交點(diǎn)

　說明　 在求曲線方程之前必須建立坐標(biāo)系，然后根據(jù)條件列出等式進(jìn)行化簡(jiǎn) .特別是在求出方程后要考慮化簡(jiǎn)的過程是否是同解變形，是否滿足已知條件，只有這樣求 出的曲線方程才能準(zhǔn)確無誤.另外，要求會(huì)判斷 曲線間有無交點(diǎn)，會(huì)求曲線的交點(diǎn)坐標(biāo).

　例1　 如果實(shí)數(shù)x、y滿足等式(x-2)²+y²＝3，求y/x的最大值.

　解：　 此題有多種解法，但用待定參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求曲線的交點(diǎn)問題可使解題過程更為簡(jiǎn)捷.

　設(shè)＝k，則y=kx.要使k的值最大，只須直線y＝kx在第一象限與圓相切 ，而圓心(2，0)到直線y=kx的距離為.

　，解得k＝(-舍去).