已知點為圓周的動點，過點作軸，垂足為，設線段的中點為，記點的軌跡方程為，點

(1)求動點的軌跡方程;

(2)若斜率為的另一個交點為，求面積的最大值及此時直線的方程；

(3)是否存在方向向量的直線交與兩個不同的點，且有？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。

  (本題滿分12分) 如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形

（1）求證：；

（2）設線段的中點為，在直線 上是否存在一點，使得？若存在，請指出點的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由；

（3）求二面角正切值的大小。

已知函數

(I)當時，討論函數的單調性：

(Ⅱ)若函數的圖像上存在不同兩點，，設線段的中點為，使得在點處的切線與直線平行或重合，則說函數是“中值平衡函數”，切線叫做函數的“中值平衡切線”.

試判斷函數是否是“中值平衡函數”？若是，判斷函數的“中值平衡切線”的條數；若不是，說明理由.

（本小題滿分12分）如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，

（I）求證：；

（II）設線段的中點為，在直線上是否存在一點，使得？若存在，請指出點的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由；

（III）求二面角的大小。

已知函數

（1）當時，討論函數的單調性：

（2）若函數的圖像上存在不同兩點，設線段的中點為，使得在點處的切線與直線平行或重合，則說函數是“中值平衡函數”，切線叫做函數的“中值平衡切線”。試判斷函數是否是“中值平衡函數”？若是，判斷函數的“中值平衡切線”的條數；若不是，說明理由.