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已知動點到點的距離，等于它到直線的距離．
（Ⅰ）求點的軌跡的方程；
（Ⅱ）過點任意作互相垂直的兩條直線，分別交曲線于點和．設線段，的中點分別為，求證：直線恒過一個定點；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求面積的最小值．

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如圖，a是海面上一條南北方向的海防警戒線，在a上一點A處有一個水聲監(jiān)測點，另兩個監(jiān)測點B，C分別在A的正東方20km和54km處．某時刻，監(jiān)測點B收到發(fā)自靜止目標P的一個聲波，8s后監(jiān)測點A，20s后監(jiān)測點C相繼收到這一信號．在當時的氣象條件下，聲波在水中的傳播速度是1.5km/s．
（1）設A到P的距離為x km，用x表示B，C到P的距離，并求x的值；
（2）求靜止目標P到海防警戒線a的距離（結果精確到0.01km）．

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題 號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答 案

11. ；   12. ；   13．或或；    14.；     15．.

三、解答題（本大題共6小題，共75分）

16．（本小題滿分12分）

已知向量，（，）.函數，

的圖象的一個對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為，且過點.

（Ⅰ）求函數的表達式；

（Ⅱ）當時，求函數的單調區(qū)間。

【解】（Ⅰ）

…………3′

由題意得周期，故.…………4′

又圖象過點，∴

即，而，∴，∴………6′

（Ⅱ）當時，

∴當時，即時，是減函數

當時，即時，是增函數

∴函數的單調減區(qū)間是，單調增區(qū)間是…………12′

17．（本小題滿分12分）

在某社區(qū)舉辦的《2008奧運知識有獎問答比賽》中，甲、乙、丙三人同時回答一道有關奧運知識的問題，已知甲回答這道題對的概率是，甲、丙兩人都回答錯的概率是，乙、丙兩人都回答對的概率是.

（Ⅰ）求乙、丙兩人各自回答這道題對的概率；

（Ⅱ）用表示回答該題對的人數，求的分布列和數學期望.

【解】（Ⅰ）記“甲回答對這道題”、“ 乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件、、，則，且有，即

∴，.…………6′

（Ⅱ）由（Ⅰ），.

的可能取值為：、、、.

則；

；

；

.…………9′

∴的分布列為

的數學期望.…………12′

18．（本小題滿分12分）如圖，已知正三棱柱各棱長都為，為棱上的動點。

（Ⅰ）試確定的值，使得；（Ⅱ）若，求二面角的大小；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點到面的距離。

【法一】（Ⅰ）當時，作在上的射影. 連結.

則平面，∴，∴是的中點，又，∴也是的中點，

即.  反之當時，取的中點，連接、.

∵為正三角形，∴.   由于為的中點時，

∵平面，∴平面，∴.……4′

（Ⅱ）當時，作在上的射影. 則底面.

作在上的射影，連結，則.

∴為二面角的平面角。

又∵，∴，∴.

∴，又∵，∴.

∴，∴的大小為.…8′

（Ⅲ）設到面的距離為，則，∵，∴平面,

∴即為點到平面的距離，

又，∴.

即，解得.即到面的距離為.……12′

【法二】以為原點，為軸，過點與垂直的直線為軸，

為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，

設，則、、.

（Ⅰ）由得，

即，∴，即為的中點，

也即時，.…………4′

（Ⅱ）當時，點的坐標是.  取.

則，.

∴是平面的一個法向量。

又平面的一個法向量為.

∴，∴二面角的大小是.……8′

（Ⅲ）設到面的距離為，則，∴到面的距離為.…12′

19．（本小題滿分12分）

已知函數.

（Ⅰ）求函數的單調區(qū)間和極值；

（Ⅱ）若對滿足的任意實數恒成立，求實數的取值范圍（這里是自然對數的底數）；

（Ⅲ）求證：對任意正數、、、，恒有

.

【解】（Ⅰ）

∴的增區(qū)間為，減區(qū)間為和.

極大值為，極小值為.…………4′

（Ⅱ）原不等式可化為由（Ⅰ）知，時，的最大值為.

∴的最大值為，由恒成立的意義知道，從而…8′

（Ⅲ）設

則.

∴當時，，故在上是減函數，

又當、、、是正實數時，

∴.

由的單調性有：，

即.…………12′

20．（本小題滿分13分）

如圖，已知曲線與拋物線的交點分別為、，曲線和拋物線在點處的切線分別為、，且、的斜率分別為、.

（Ⅰ）當為定值時，求證為定值（與無關），并求出這個定值；

（Ⅱ）若直線與軸的交點為，當取得最小值時，求曲線和的方程。

【解】（Ⅰ）設點的坐標為，

由得：

則，∴…………2′

由得，∴ …………4′

∴

又∵，，∴.

∴