[例1]某批零件共160個(gè).其中.一級(jí)品48個(gè).二級(jí)品64個(gè).三級(jí)品32個(gè).等外品16個(gè).從中抽取一個(gè)容量為20的樣本.請(qǐng)說明分別用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.系統(tǒng)抽樣和分層抽樣法抽取時(shí)總體中的每個(gè)個(gè)體被取到的概率均相同. 解:(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法:可采取抽簽法.將160個(gè)零件按1-160編號(hào).相應(yīng)地制作1-160號(hào)的160個(gè)簽.從中隨機(jī)抽20個(gè).顯然每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為=. (2)系統(tǒng)抽樣法:將160個(gè)零件從1至160編上號(hào).按編號(hào)順序分成20組.每組8個(gè).然后在第1組用抽簽法隨機(jī)抽取一個(gè)號(hào)碼.如它是第k號(hào)(1≤k≤8).則在其余組中分別抽取第k+8n(n=1.2.3.-.19)號(hào).此時(shí)每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為. (3)分層抽樣法:按比例=.分別在一級(jí)品.二級(jí)品.三級(jí)品.等外品中抽取48×=6個(gè).64×=8個(gè).32×=4個(gè).16×=2個(gè).每個(gè)個(gè)體被抽到的概率分別為....即都是. 綜上可知.無論采取哪種抽樣.總體的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是. 點(diǎn)評(píng):三種抽樣方法的共同點(diǎn)就是每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相同.這樣樣本的抽取體現(xiàn)了公平性和客觀性. [例2]設(shè)隨機(jī)變量ξ的概率密度函數(shù)為 , 求P=P 解=0,如圖,密度曲線與x軸圍成三角形面積 . =, f=. F= [例3]將溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi).調(diào)節(jié)器設(shè)定在d ℃.液體的溫度ξ是一個(gè)隨機(jī)變量.且ξ-N(d.0.52). (1)若d=90°.求ξ<89的概率, (2)若要保持液體的溫度至少為80 ℃的概率不低于0.99.問d至少是多少?(其中若η-N(0.1).則Φ(2)=P(η<2)=0.9772.Φ=P(η<-2.327)=0.01). 分析:需轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的數(shù)值. 解:(1)P(ξ<89)=F(89)=Φ()=Φ(-2)=1-Φ(2)=1-0.9772=0.0228. (2)由已知d滿足0.99≤P(ξ≥80). 即1-P(ξ<80)≥1-0.01.∴P(ξ<80)≤0.01. ∴Φ()≤0.01=Φ. ∴≤-2.327. ∴d≤81.1635. 故d至少為81.1635. ◆提煉方法:(1)若ξ-N.則η=-N標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)f(x)是偶函數(shù).x<0時(shí).f(x)為增函數(shù).x>0時(shí).f(x)為減函數(shù). [例4] 在某校舉行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中.全體參賽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)近似服從正態(tài)分布N.已知成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生有12名. (Ⅰ)試問此次參賽的學(xué)生總數(shù)約為多少人? (Ⅱ)若該校計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)競(jìng)賽成績(jī)排在前50名的學(xué)生.試問設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)約為多少分? 可供查閱的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 x0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9278 0.9292 0.9306 0.9319 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9762 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 解:(1)設(shè)參賽學(xué)生的分布數(shù)為ξ.因?yàn)棣?N.由條件知: 這說明成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2.28% 因此.參賽總?cè)藬?shù)約為 (2)假定設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線為分.則 即.查表得.解得 故設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線約為83分. [研討.欣賞] 設(shè)有一樣本x1.x2.-.xn.其標(biāo)準(zhǔn)差為sx.另有一樣本y1.y2.-.yn.其中yi=3xi+2(i=1.2.-.n).其標(biāo)準(zhǔn)差為sy.求證:sy=3sx. 證明:∵=. ∴= = ==3+2. ∴sy2=［(y12+y22+-+yn2)-n 2］ =［(3x1+2)2+(3x2+2)2+-+(3xn+2)2-n(3+2)2］ =［9(x12+x22+-+xn2)+12(x1+x2+-+xn)+4n-n(92+12+4)］ =［(x12+x22+-+xn2)-n2］=9sx2. ∵sx≥0.sy≥0. ∴sy=3sx. 【查看更多】

 

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某批零件共160個(gè)，其中，一級(jí)品48個(gè)，二級(jí)品64個(gè)，三級(jí)品32個(gè)，等外品16個(gè)．從中抽取一個(gè)容量為20的樣本．請(qǐng)說明分別用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣法抽取時(shí)總體中的每個(gè)個(gè)體被取到的概率均相同．

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某批零件共160個(gè)，其中，一級(jí)品48個(gè)，二級(jí)品64個(gè)，三級(jí)品32個(gè)，等外品16個(gè).從中抽取一個(gè)容量為20的樣本.請(qǐng)說明分別用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣法抽取時(shí)總體中的每個(gè)個(gè)體被取到的概率均相同.

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