題目列表(包括答案和解析)
1≤i≤j≤n |
1≤i≤j≤n |
S1 |
S2 |
S2 |
S3 |
Sn |
Sn+1 |
n |
4 |
3 |
16 |
3 |
16 |
1 |
2n |
1≤i≤j≤n |
1≤i≤j≤n |
1 |
7 |
S1 |
S2 |
S1•S3 |
S2•S4 |
S1•S3…S2n-1 |
S2•S4…S2n |
4 |
21 |
古代印度婆羅門教寺廟內(nèi)的僧侶們曾經(jīng)玩過一種被稱為“河內(nèi)寶塔問題”的游戲,其玩法如下:如圖,設有個圓盤依其半徑大小,大的在下,小的在上套在柱上,現(xiàn)要將套在柱上的盤換到柱上,要求每次只能搬動一個,而且任何時候不允許將大盤套在小盤上面,假定有三根柱子可供使用.
現(xiàn)用表示將個圓盤全部從柱上移到柱上所至少需要移動的次數(shù),回答下列問題:
(1)寫出 并求出
(2)記 求和(其中表示所有的積的和)
(3)證明:
古代印度婆羅門教寺廟內(nèi)的僧侶們曾經(jīng)玩過一種被稱為“河內(nèi)寶塔問題”的游戲,其玩法如下:如圖,設有個圓盤依其半徑大小,大的在下,小的在上套在柱上,現(xiàn)要將套在柱上的盤換到柱上,要求每次只能搬動一個,而且任何時候不允許將大盤套在小盤上面,假定有三根柱子可供使用.
現(xiàn)用表示將個圓盤全部從柱上移到柱上所至少需要移動的次數(shù),回答下列問題:
(1)寫出 并求出(2)記 求和
(其中表示所有的積的和)
(3)證明:
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)證明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)設E為棱PA上的點,滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長.
【解析】解法一:如圖,以點A為原點建立空間直角坐標系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)證明:易得,于是,所以
(2) ,設平面PCD的法向量,
則,即.不防設,可得.可取平面PAC的法向量于是從而.
所以二面角A-PC-D的正弦值為.
(3)設點E的坐標為(0,0,h),其中,由此得.
由,故
所以,,解得,即.
解法二:(1)證明:由,可得,又由,,故.又,所以.
(2)如圖,作于點H,連接DH.由,,可得.
因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,
因此所以二面角的正弦值為.
(3)如圖,因為,故過點B作CD的平行線必與線段AD相交,設交點為F,連接BE,EF. 故或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,故
在中,由,,
可得.由余弦定理,,
所以.
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