(Ⅱ)當(dāng)橢圓的離心率時.求橢圓長軸長的取值范圍. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

橢圓E的中心在原點O，焦點在x軸上，離心率e=
2
3
，過點C（-1，0）的直線l交橢圓于A、B兩點，且滿足：
CA
=λ
BC
（λ≥2）．
（1）若λ為常數(shù)，試用直線l的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面積；
（2）若λ為常數(shù)，當(dāng)三角形OAB的面積取得最大值時，求橢圓E的方程；
（3）若λ變化，且λ=k2+1，試問：實數(shù)λ和直線l的斜率k（k∈R）分別為何值時，橢圓E的短半軸長取得最大值？并求出此時的橢圓方程．

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橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)與直線x+y-1=0相交于P、Q兩點，且
OP
⊥
OQ
（O為坐標(biāo)原點）．
（Ⅰ）求證：
1
a2
+
1
b2
等于定值；
（Ⅱ）當(dāng)橢圓的離心率e∈[
3
3
，
2
2
]時，求橢圓長軸長的取值范圍．

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橢圓的離心率為，兩焦點分別為，點M是橢圓C上一點，的周長為16，設(shè)線段MO（O為坐標(biāo)原點）與圓交于點N，且線段MN長度的最小值為.

（1）求橢圓C以及圓O的方程；

（2）當(dāng)點在橢圓C上運動時，判斷直線與圓O的位置關(guān)系.

 

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已知當(dāng)橢圓的長軸、短軸、焦距依次成等比時稱橢圓為“黃金橢圓”，請用類比的性質(zhì)定義“黃金雙曲線”，并求“黃金雙曲線”的離心率為（      ）

A．               B．               C．          D．

 

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已知當(dāng)橢圓的長軸、短軸、焦距依次成等比時稱橢圓為“黃金橢圓”，請用類比的性質(zhì)定義“黃金雙曲線”，并求“黃金雙曲線”的離心率為（      ）

A．B．C．D．

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一、選擇題（每小題5分，共60分）

1.A   2.C     3.C   4.D  5.B   6.A   7.D   8.D  9.C   10.B    11.B      12.D

二、填空題（每小題4分，共16分）

   13.    14.3825     15.1      16.0ⅠⅡ

三、解答題

17.解：（Ⅰ）在中，由及余弦定理得

      而，則；

      （Ⅱ）由及正弦定理得，

      而，則

      于是，

     由得，當(dāng)即時，。

18解：（Ⅰ）基本事件共有36個，方程有正根等價于，即。設(shè)“方程有兩個正根”為事件，則事件包含的基本事件為共4個，故所求的概率為；

（Ⅱ）試驗的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域，其面積為

設(shè)“方程無實根”為事件，則構(gòu)成事件的區(qū)域為

，其面積為

故所求的概率為

19.解：（Ⅰ）證明：由平面及得平面，則

   而平面，則，又，則平面，

   又平面，故。

（Ⅱ）在中，過點作于點，則平面.

由已知及（Ⅰ）得.

故

(Ⅲ)在中過點作交于點，在中過點作交于點，連接，則由得

  由平面平面，則平面

再由得平面，又平面，則平面.

  故當(dāng)點為線段上靠近點的一個三等分點時，平面.

  20.解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，

則，

（Ⅱ）由

得，故數(shù)列適合條件①

而，則當(dāng)或時，有最大值20

即，故數(shù)列適合條件②.

綜上，故數(shù)列是“特界”數(shù)列。

     21.證明：消去得

設(shè)點，則，

由，，即

化簡得，則

即，故

（Ⅱ）解：由

  化簡得

    由得，即

故橢圓的長軸長的取值范圍是。

22.解：（Ⅰ），由在區(qū)間上是增函數(shù)

則當(dāng)時，恒有，

即在區(qū)間上恒成立。

由且，解得.

（Ⅱ）依題意得

則，解得

而

故在區(qū)間上的最大值是。

（Ⅲ）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有3個不同的交點，

即方程恰有3個不等的實數(shù)根。

而是方程的一個實數(shù)根，則

方程有兩個非零實數(shù)根，

則即且.

故滿足條件的存在，其取值范圍是.

 

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