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已知過點A(0,4)的直線l與以F為焦點的拋物線C:x2=py相切于點T(-4,y0);中心在坐標原點,一個焦點為F的橢圓與直線l有公共點.
(1)求直線l的方程和焦點F的坐標;
(2)求當橢圓的離心率最大時橢圓的方程;
(3)設(shè)點M(x1,yl)是拋物線C上任意一點,D(0,-2)為定點,是否存在垂直于y軸的直線l/被以MD為直徑的圓截得的弦長為定值?請說明理由.
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(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值;
(2)當b>0時,求證:bb≥(其中e=2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù));
(3)若a>0,b>0,證明f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)-f(b).
(文)已知向量m=(x2,y-cx),n=(1,x+b)(x,y,b,c∈R)且m∥n,把其中x,y所滿足的關(guān)系式記為y=f(x).若f′(x)為f(x)的導函數(shù),F(x)=f(x)+af′(x)(a>0),且F(x)是R上的奇函數(shù).
(1)求和c的值.
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間(用字母a表示).
(3)當a=2時,設(shè)0<t<4且t≠2,曲線y=f(x)在點A(t,f(t))處的切線與曲線y=f(x)相交于點B(m,f(m))(A與B不重合),直線x=t與y=f(m)相交于點C,△ABC的面積為S,試用t表示△ABC的面積S(t),并求S(t)的最大值.
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一、DBCCC DCADB
二、11.72 12. 13. 14. 15.
三、16.(Ⅰ).
∵,∴,∴,∴當時,f(A)取最小值.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 時, .于是,
由得.
17.(Ⅰ)設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件,“從乙盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件.由于事件相互獨立,且,.
故取出的4個球均為黑球的概率為.
(Ⅱ)設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球;從乙盒內(nèi)取出的2個球中,1個是紅球,1個是黑球”為事件,“從甲盒內(nèi)取出的2個球中,1個是紅球,1個是黑球;從乙盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件.由于事件互斥,
且,.
故取出的4個球中恰有1個紅球的概率為.
(Ⅲ)取出的4個球中紅球的個數(shù)為0,1,2,3時的概率分別記為.由(Ⅰ),(Ⅱ)得,,.從而.
18.(I)∵AB∥CD,AD=DC=CB=a,∴四邊形ABCD是等腰梯形.設(shè)AC交BD于N,連EN.
∵∠ABC=60°,∴∠DCB=∠ADC=120°,∠DAC=∠ACD=30°,
∴AC=,AB=2a,=90°.
又四邊形ACEF是矩形,
∴AC⊥平面BCE.∴AC⊥BE.
(II)∵平面ACEF⊥平面ABCD, EC⊥AC,
∴EC⊥面 ABCD,∴EC⊥CD, EC⊥AD,又AF∥CE,
∴AF⊥AD,而AF=CE,AD=CD,
∴Rt△≌Rt△,DE=DF.
過D作DG⊥EF于G,則G為EF的中點,于是EG=.
在Rt△中,,∴.∴.
設(shè)所求二面角大小為,則由及,得,,
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.21.(I)由于橢圓過定點A(1,0),于是a=1,c=.
∵ ,∴.
(Ⅱ)解方程組,得.
∵,∴.
(Ⅲ)設(shè)拋物線方程為:.
又∵,∴.
又,得.
令.
∵內(nèi)有根且單調(diào)遞增,
∴
∴
故.
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