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如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E、F分別是、的中點(diǎn)，過(guò)、E、F作平面交于G．
(l)求證：EG∥；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求正方體被平面所截得的幾何體的體積．

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一．選擇題：CCBAB BBADA

解析：1：由映射概念可知可得.故選.

2：如圖，＋3＝，在中，由余弦定理得｜＋3|=｜｜＝，故選C。

3：取，由圖象可知，此時(shí)注水量大于容器容積的，故選B。

4：因為三角形中的最小內(nèi)角，故，由此可得y=sinx+cosx>1，排除B,C,D，故應(yīng)選A。

5：取x＝4，y＝?100%≈－8.3%，排除C、D；取x＝30，y ＝ ?100%≈77.2%，排除A，故選B。

6：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n=n²+(a₁-)n可表示為過(guò)原點(diǎn)的拋物線，又本題中a₁=-9<0, S₃=S₇,可表示如圖，由圖可知，n=,是拋物線的對(duì)稱軸，所以n=5是拋物線的對(duì)稱軸，所以n=5時(shí)S_n最小，故選B。

7：∵A，B是一對(duì)矛盾命題，故必有一真，從而排除錯(cuò)誤支C，D。又由ab<0，可令a=1,b= －1，代入知B為真，故選B。

8：借助立體幾何的兩個(gè)熟知的結(jié)論：（1）一個(gè)正方體可以內(nèi)接一個(gè)正四面體；（2）若正方體的頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則正方體的對(duì)角線就是球的直徑。可以快速算出球的半徑，從而求出球的表面積為，故選A。

9：分析選擇支可知，四條曲線中有且只有一條曲線不符合要求，故可考慮找不符合條件的曲線從而篩選，而在四條曲線中②是一個(gè)面積最大的橢圓，故可先看②，顯然直線和曲線是相交的，因?yàn)橹本�上的點(diǎn)在橢圓內(nèi)，對(duì)照選項(xiàng)故選D。

10：，從而對(duì)任意的，存在唯一的，使得為常數(shù)。充分利用題中給出的常數(shù)10，100。令,當(dāng)時(shí)，，由此得故選A。

二．填空題：11、；   12、；   13、；

14、；  15、；

解析：11：不等式等價(jià)于，也就是，所以，從而應(yīng)填．

12： ，不論的值如何，與同號(hào)，所以

13：題設(shè)條件等價(jià)于點(diǎn)（0，1）在圓內(nèi)或圓上，或等價(jià)于點(diǎn)（0，1）到圓的圓心的距離不超過(guò)半徑，∴。

14.解：由正弦定理得即，∴所求直線的極坐標(biāo)方程為.

15.解：即，

三．解答題：

16．解：(Ⅰ)函數(shù) 要有意義需滿足：即，解得，   …………………………………3分

函數(shù)要有意義需滿足，即，

解得或  …………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，

，………………………12分

17.解：（I）因?yàn)?sub>是等比數(shù)列，

       又…………………………………………2分

       ∴是以a為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.………………………………6分

   （II）（I）中命題的逆命題是：若是等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列，是假命題.

                           ……………………………………………………………8分

       設(shè)的公比為則

       又

       是以1為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，

       是以為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列.……………………10分

       即為1，a，q，aq，q²，aq²，…

       但當(dāng)q≠a²時(shí)，不是等比數(shù)列

       故逆命題是假命題.……………………………………………………………………12分

       另解：取a=2，q=1時(shí)，

       因此是等比數(shù)列，而不是等比數(shù)列.

       故逆命題是假命題.……………………………………………………………………12分

18.解：（1）設(shè)選對(duì)一道“可判斷２個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的”題目為事件A，“可判斷１個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的”該題選對(duì)為事件B，“不能理解題意的”該題選對(duì)為事件C.則---

所以得４０分的概率………………………………4分

(2) 該考生得20分的概率=……………………5分

該考生得25分的概率：

=  ……………………6分

該考生得30分的概率：==   --------------7分

該考生得35分的概率：

=            ……………………9分

∵　　∴該考生得25分或30分的可能性最大………………………………11分

（3）該考生所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望=

………………………………14分

19．解：（Ⅰ）由知圓心C的坐標(biāo)為--------------（1分）

∵圓C關(guān)于直線對(duì)稱

∴點(diǎn)在直線上  -----------------（2分）

即D+E=－2，------------①且-----------------②-----------------（3分）

又∵圓心C在第二象限   ∴  -----------------（4分）

由①②解得D=2,E=－4     -----------------（5分）

∴所求圓C的方程為：  ------------------（6分）

  （Ⅱ）切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且不為零，設(shè)：  -----------（7分）

        圓C:

圓心到切線的距離等于半徑，

即                    

。                    ------------------（12分）

所求切線方程     ------------------（14分）

20．（Ⅰ）證明：在正方體中，∵平面∥平面

      平面平面，平面平面

      ∴∥.-------------------------------------3分

 （Ⅱ）解：如圖，以D為原點(diǎn)分別以DA、DC、DD₁為

x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則有

D₁（0，0，2），E（2，1，2），F(xiàn)（0，2，1），

∴，

      設(shè)平面的法向量為

     則由，和，得，

     取，得，，∴ ------------------------------6分

又平面的法向量為（0，0，2）

故；

    ∴截面與底面所成二面角的余弦值為. ------------------9分

（Ⅲ）解：設(shè)所求幾何體的體積為V，

        ∵～，，，

        ∴，，

       ∴，

--------------------------11分

故V_棱臺(tái)

     ∴V=V_正方體-V_{棱臺(tái).} ------------------14分

21．解：（Ⅰ）由題意，在[]上遞減，則解得

所以，所求的區(qū)間為[-1，1]         ………………………4分

（Ⅱ）取則，即不是上的減函數(shù)。

取，

即不是上的增函數(shù)

所以，函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)。-------9分

（Ⅲ）若是閉函數(shù)，則存在區(qū)間[]，在區(qū)間[]上，函數(shù)的值域?yàn)閇]，即，為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根。

當(dāng)時(shí)，有，解得。

當(dāng)時(shí)，有，無(wú)解。

綜上所述，---------------------------------------------14分