題目列表(包括答案和解析)
(本題滿分12分) 設(shè)橢圓 C1:(
)的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線 C2:
的焦點(diǎn)重合,F(xiàn)1,F(xiàn)2 分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),離心率
,過橢圓右焦點(diǎn) F2 的直線
與橢圓 C 交于 M,N 兩點(diǎn).
(I)求橢圓C的方程;
(II)是否存在直線 ,使得
,若存在,求出直線
的方程;若不存在,說明理由;
(III)若 AB 是橢圓 C 經(jīng)過原點(diǎn) O 的弦,MN//AB,求證: 為定值.
(本題滿分12分) 過橢圓C: + = 1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與橢圓C交于點(diǎn)(,1).(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)過點(diǎn)P(4,1)的動(dòng)直線與橢圓C相交于兩個(gè)不同點(diǎn)A、B,與直線2x+y-2=0交于點(diǎn)Q,若→AP=λ→PB,→AQ =μ→QB,求λ+μ的值
(本題滿分12分)設(shè)、
分別是橢圓
的左、右焦點(diǎn).
(1)若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求
的最大值和最小值;
(2)設(shè)過定點(diǎn)的直線
與橢圓交于不同的兩點(diǎn)
、
,且∠
為銳角(其中
為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線
的斜率
的取值范圍.
一、選擇題:
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
C
B
B
C
D
C
A
C
D
A
二、填空題:
13. 14.
15. 2個(gè) 16.
三、解答題:
17.解:(1)
……………………3分
又
即
…………………5分
(2)
又 是
的充分條件
解得
………12分
18.由題意知,在甲盒中放一球概率為時(shí),在乙盒中放一球的概率為
…2分
①當(dāng)時(shí),
,
的概率為
………4分
②當(dāng)時(shí),
,又
,所以
的可能取值為0,2,4
(?)當(dāng)時(shí),有
,
,它的概率為
………6分
(?)當(dāng) 時(shí),有
,
或
,
它的概率為
(?)當(dāng)時(shí),有
或
它的概率為
故的分布列為
0
2
4
P
的數(shù)學(xué)期望
…………12分
19.解:(1) 連接 交
于點(diǎn)E,連接DE,
,
四邊形
為矩形,
點(diǎn)E為
的中點(diǎn),
平面
……………6分
(2)作于F,連接EF
,D為AB中點(diǎn),
,
,
EF為BE在平面
內(nèi)的射影
又為二面角
的平面角.
設(shè)
又二面角
的余弦值
………12分
20.(1)據(jù)題意的
………4分
………5分
(2)由(1)得:當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),
,
為增函數(shù)
當(dāng)時(shí),
為減函數(shù)
當(dāng)
時(shí),
…………………………8分
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),
…………………………10分
綜上知:當(dāng)時(shí),總利潤最大,最大值為195 ………………12分
21.解:(1)由橢圓定義可得,由
可得
,而
解得 ……………………4分
(2)由,得
,
解得或
(舍去)
此時(shí)
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),
得最小值
,
此時(shí)橢圓方程為
………………………………………8分
(3)由知點(diǎn)Q是AB的中點(diǎn)
設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為
則,兩式相減得
AB的中點(diǎn)Q的軌跡為直線
①
且在橢圓內(nèi)的部分
又由可知
,所以直線NQ的斜率為
,
方程為②
①②兩式聯(lián)立可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為
點(diǎn)Q必在橢圓內(nèi)
解得
又
…………………………………12分
22.解:(1)由,得
令,有
又
(2)證明:
為遞減數(shù)列
當(dāng)時(shí),
取最大值
由(1)中知
綜上可知
(3)
欲證:即證
即,構(gòu)造函數(shù)
當(dāng)
時(shí),
函數(shù)
在
內(nèi)遞減
在
內(nèi)的最大值為
當(dāng)
時(shí),
又
不等式
成立
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