如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)P到x軸的距離是4，拋物線與x軸相交于O，M兩點(diǎn)，OM=4，矩形ABCD的邊BC在線段OM上，點(diǎn)A，D在拋物線上．
（1）寫(xiě)出P，M兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)矩形ABCD的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，求L的最大值；
（3）當(dāng)矩形ABCD的周長(zhǎng)最大時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)E，使得△DME的周長(zhǎng)最��？如果存在，請(qǐng)寫(xiě)出E點(diǎn)坐標(biāo)及△DME的周長(zhǎng)最小值；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明你的理由．

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經(jīng)過(guò)A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，拋物線與y軸交點(diǎn)為C，其頂點(diǎn)為D，連接BD，點(diǎn)P是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、D重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為E，連接BE．
（1）求拋物線的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），△PBE的面積為s，求s與x的函數(shù)關(guān)系式，寫(xiě)出自變量x的取值范圍，并求出s的最大值；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)s取得最大值時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作x的垂線，垂足為F，連接EF，把△PEF沿直線EF折疊，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P'，請(qǐng)直接寫(xiě)出P'點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)P'是否在該拋物線上．

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，連接BD，點(diǎn)P是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、D重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為E，連接BE．
（1）求拋物線的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），△PBE的面積為s，求s與x的函數(shù)關(guān)系式，寫(xiě)出自變量x的取值范圍，并求出s的最大值；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)s取得最大值時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作x的垂線，垂足為F，連接EF，把△PEF沿直線EF折疊，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′，請(qǐng)直接寫(xiě)出P′點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)P′是否在該拋物線上．