12.設f(x)＝ax²+bx+c，若6a+2b+c＝0，f(1)·f(3)＞0，

(1)若a＝1，求f(2)的值；

(2)求證：方程f(x)＝0必有兩個不等實根x₁、x₂，且3＜x₁+x₂＜5.

解：(1)∵6a+2b+c＝0，a＝1，

∴f(2)＝4a+2b+c＝－2a＝－2.

(2)證明：首先說明a≠0，

∵f(1)·f(3)＝(a+b+c)(9a+3b+c)＝－(5a+b)(3a+b)＞0，

若a＝0，則f(1)·f(3)＝－b²＜0與已知矛盾，

∴a≠0，

其次說明二次方程f(x)＝0必有兩個不等實根x₁、x₂，

∵f(2)＝4a+2b+c＝－2a，

∴若a＞0，二次函數(shù)f(x)＝ax²+bx+c開口向上，而此時f(2)＜0，

∴若a＜0，二次函數(shù)f(x)＝ax²+bx+c開口向下，而此時f(2)＞0.

故二次函數(shù)圖象必與x軸有兩個不同交點，

∴ 二次方程f(x)＝0必有兩個不等實根x₁、x₂，

(或利用Δ＝b²－4ac＝b²+4a(6a+2b)＝b²+8ab+24a²＝(b+4a)²+8a²＞0來說明)

∵a≠0，

∴將不等式－(5a+b)(3a+b)＞0兩邊同除以－a²得

(+3)(+5)＜0，

∴－5＜＜－3.

∴3＜x₁+x₂＝－＜5.

11.不等式(a－2)x²+2(a－2)x－4＜0對一切x∈R恒成立，則a的取值范圍是　　.

解析：當a－2＝0，即a＝2時，－4＜0恒成立；

當a－2≠0時，　

解之得：－2＜a＜2

∴a的取值范圍是－2＜a≤2.

答案：(－2,2]

10.(2009·福建高考)函數(shù)f (x)＝ax²+bx+c(a≠0)的圖象關于直線x＝－對稱.據(jù)此可推測，對任意的非零實數(shù)a，b，c，m，n，p，關于x的方程m[f(x)]²+nf(x)+p＝0的解集都不可能是　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　)

A.{1,2} 　　B.{1,4}　　 C.{1,2,3,4} 　　　D.{1,4,16,64}

解析：設關于f(x)的方程m[f(x)]²+nf(x)+p＝0有兩根，即f(x)＝t₁或f(x)＝t₂.

而f(x)＝ax²+bx+c的圖象關于x＝－對稱，因而f(x)＝t₁或f(x)＝t₂的兩根也關于x＝－對稱.而選項D中≠.

答案：D

9.已知f(x)＝x²－2x+3，在閉區(qū)間[0，m]上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是　　.

解析：若f (x)＝3，則x＝0或x＝2；若f (x)＝2，則x＝1.借助函數(shù)圖象可知1≤m≤2.

答案：1≤m≤2

8.(2009·天津高考)已知函數(shù)f(x)＝若f(2－a²)＞f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.(－∞，－1)∪(2，+∞)

B.(－1,2)

C.(－2,1)

D.(－∞，－2)∪(1，+∞)

解析：函數(shù)f(x)＝的圖象

如圖.

知f(x)在R上為增函數(shù).

∵f(2－a²)＞f(a)，

即2－a²＞a.

解得－2＜a＜1.

答案：C

7.函數(shù)f(x)＝4x²－mx+5在區(qū)間[－2，+∞)上是增函數(shù)，則f(1)的取值范圍是　　 (　)

A. f (1)25　 　B.f(1)＝25 　　C. f (1)25 　　　D.f(1)＞25

解析：由題知≤－2，∴m≤－16.∴f(1)＝9－m25.

答案：A

6.已知二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為a，滿足不等式f(x)＞－2x的解集為(1,3)，且方程f(x)+6a＝0有兩個相等的實根，求f(x)的解析式.

解：設f(x)＝ax²+bx+c(a≠0).∵f(x)＞－2x，

∴ax²+bx+c＞－2x，即ax²+(b+2)x+c＞0.

∵解集為(1,3)，故

由于f(x)＝－6a有兩個相等的實根，故ax²+bx+c+6a＝0中Δ＝0.

∴b²－4a(c+6a)＝0.　　　　　 　　　　　　　③

聯(lián)立①②③，故a＝－，b＝－，c＝－，

∴f(x)＝－x²－x－.

5.(2010·�？谀�擬)方程|x²－2x|＝a²+1(a∈(0，+∞))的解的個數(shù)是　　　　　　 (　)

A.1個　　　　 B.2個

C.3個　 　　　　　　　D.4個

解析：∵a∈(0，+∞)，∴a²+1＞1，∴y＝|x²－2x|的圖象與y＝a²+1的圖象總有兩個交點，∴方程有兩解.故選B.

答案：B

4.已知函數(shù)f(x)＝x²+bx+c且f(1+x)＝f (－x)，則下列不等式中成立的是　　　　 (　)

A.f(－2)＜f(0)＜f(2)

B.f(0)＜f (－2)＜f (2)

C. f (0)＜f (2)＜f (－2)

D. f (2)＜f (0)＜f (－2)

解析：∵f (1+x)＝f(－x)，

∴(x+1)²+b(x+1)+c＝x ²－b x+c，

∴x²+(2+b)x+1+b+c＝x²－bx+c，

∴2+b＝－b，即b＝－1，

∴f(x)＝x ²－x+c，其圖象的對稱軸為x＝，

∴f(0)＜f(2)＜f(－2).

答案：C