(17)(本小題滿分12分)
如圖,為了解某海域海底構(gòu)造,在海平面內(nèi)一條直線上的A,B,C三點進行測量,已知,,于A處測得水深,于B處測得水深,于C處測得水深,求∠DEF的余弦值!
(18)(本小題滿分12分)
如圖,在三棱錐中,⊿是等邊三角形,∠PAC=∠PBC=90 º
(Ⅰ)證明:AB⊥PC
(Ⅱ)若,且平面⊥平面,
求三棱錐體積。
(19)(本小題滿分12分)
某工廠有工人1000名,其中250名工人參加過短期培訓(xùn)(稱為A類工人),另外750名工人參加過長期培訓(xùn)(稱為B類工人).現(xiàn)用分層抽樣方法(按A類,B類分二層)從該工廠的工人中共抽查100名工人,調(diào)查他們的生產(chǎn)能力(生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)).
(Ⅰ)A類工人中和B類工人各抽查多少工人?
(Ⅱ)從A類工人中抽查結(jié)果和從B類工人中的抽查結(jié)果分別如下表1和表2
表1:
生產(chǎn)能力分組 |
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人數(shù) |
4 |
8 |
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5 |
3 |
表2:
生產(chǎn)能力分組 |
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人數(shù) |
6 |
y |
36 |
18 |
(1) 先確定,再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖。就生產(chǎn)能力而言,A類工人中個體間的差異程度與B類工人中個體間的差異程度哪個更。(不用計算,可通過觀察直方圖直接回答結(jié)論)
(ii)分別估計類工人和類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù),并估計該工廠工人和生產(chǎn)能力的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)。
(20)(本小題滿分12分)
已知橢圓的中心為直角坐標(biāo)系的原點,焦點在軸上,它的一個項點到兩個
焦點的距離分別是7和1
(I) 求橢圓的方程‘
(II) 若為橢圓的動點,為過且垂直于軸的直線上的點,
(e為橢圓C的離心率),求點的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線。
(21)(本小題滿分12分)
已知函數(shù).
(1) 設(shè),求函數(shù)的極值;
(2) 若,且當(dāng)時,12a恒成立,試確定的取值范圍.
請考生在第(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分。作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑!
(22)(本小題滿分10分)選修4-1;幾何證明選講
如圖,已知ABC中的兩條角平分線和相交于,B=60,在上,且。
(1)證明:四點共圓;
(2)證明:CE平分DEF。
(23)(本小題滿分10分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程。
已知曲線C: (t為參數(shù)), C:(為參數(shù))。
(1)化C,C的方程為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線;
(2)若C上的點P對應(yīng)的參數(shù)為,Q為C上的動點,求中點到直線
(t為參數(shù))距離的最小值。
(24)(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講
如圖,為數(shù)軸的原點,為數(shù)軸上三點,為線段上的動點,設(shè)表示與原點的距離, 表示到距離4倍與到距離的6倍的和.
(1)將表示為的函數(shù);
(2)要使的值不超過70, 應(yīng)該在什么范圍內(nèi)取值?
2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試
22、解析:(I)因,,因在區(qū)間上不單調(diào),所以在上有實數(shù)解,且無重根,由得
,令有,記則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以有,于是,得,而當(dāng)時有在上有兩個相等的實根,故舍去,所以;
(II)當(dāng)時有;
當(dāng)時有,因為當(dāng)時不合題意,因此,
下面討論的情形,記A,B=(ⅰ)當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,所以要使成立,只能且,因此有,(ⅱ)當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,所以要使成立,只能且,因此,綜合(ⅰ)(ⅱ);
當(dāng)時A=B,則,即使得成立,因為在上單調(diào)遞增,所以的值是唯一的;
同理,,即存在唯一的非零實數(shù),要使成立,所以滿足題意.
21、解析:(I)由題意得所求的橢圓方程為,
(II)不妨設(shè)則拋物線在點P處的切線斜率為,直線MN的方程為,將上式代入橢圓的方程中,得,即,因為直線MN與橢圓有兩個不同的交點,所以有,
設(shè)線段MN的中點的橫坐標(biāo)是,則,
設(shè)線段PA的中點的橫坐標(biāo)是,則,由題意得,即有,其中的或;
當(dāng)時有,因此不等式不成立;因此,當(dāng)時代入方程得,將代入不等式成立,因此的最小值為1.
20、證明:(I)如圖,連結(jié)OP,以O(shè)為坐標(biāo)原點,分別以O(shè)B、OC、OP所在直線為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系O,
則,由題意得,因,因此平面BOE的法向量為,得,又直線不在平面內(nèi),因此有平面
(II)設(shè)點M的坐標(biāo)為,則,因為平面BOE,所以有,因此有,即點M的坐標(biāo)為,在平面直角坐標(biāo)系中,的內(nèi)部區(qū)域滿足不等式組,經(jīng)檢驗,點M的坐標(biāo)滿足上述不等式組,所以在內(nèi)存在一點,使平面,由點M的坐標(biāo)得點到,的距離為.
19、解析:(I)記“這3個數(shù)恰有一個是偶數(shù)”為事件A,則;
(II)隨機變量的取值為的分布列為
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0 |
1 |
2 |
P |
|
|
|
所以的數(shù)學(xué)期望為
18、解析:(I)因為,,又由,得,
(II)對于,又,或,由余弦定理得,
17、答案:
[解析]此題的破解可采用二個極端位置法,即對于F位于DC的中點時,,隨著F點到C點時,因平面,即有,對于,又,因此有,則有,因此的取值范圍是
16、答案:336
[解析]對于7個臺階上每一個只站一人,則有種;若有一個臺階有2人,另一個是1人,則共有種,因此共有不同的站法種數(shù)是336種.
15、答案:
[解析]這是一種需類比推理方法破解的問題,結(jié)論由二項構(gòu)成,第二項前有,二項指數(shù)分別為,因此對于,
14、答案:
[解析]對于應(yīng)付的電費應(yīng)分二部分構(gòu)成,高峰部分為;對于低峰部分為,二部分之和為
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