同步練習　　 　9.1平面的性質(zhì)與直線的位置關系

[選擇題]

1．下列四個命題：

(1)分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線是異面直線

(2)和兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條

(3)和兩條異面直線都相交的兩條直線必異面

(4)若與是異面直線，與是異面直線，則與也異面

其中真命題個數(shù)為　　　　　　　　　　　 (　 )

A.3　　 B.2　　 C.1　　 D.0

[例1]用圖形表示：a∩b=m,aÌa,bÌb,a∩m=A,b∩m=B,c∩a=P,PÏa,cËb.

　 圖略

思悟提煉：熟悉圖形語言、符號語言之間的互化.提高畫圖能力.

[例2]P是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁上一點,(不是端點),求證:過P點有且只有一條直線與直線BC、C₁D₁相交.

證明：依題設，平面BCP與直線C₁D₁

有且只有一個交點，設為Q，過兩點Q、P有且只有一條直線，且與BC必相交.

思悟提煉：1.線面相交,有且只有一個交點.一個平面內(nèi)的直線不平行就相交.

[例3](1)三條直線a,b,c互相平行，且都與直線m相交，求證：這四條直線共面；

(2)在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M,N,P,Q,R,S是棱的中點，

求證：MNPQRS是正六邊形.

證明:

(1)設a,m確定平面α再證b, c在α內(nèi).

(2)證SR//MQ//NP,且都與RN相交.

思悟提煉:證明點或線共面的方法：--

[例4]如圖，已知DABC和DA¢B¢C¢不共面，直線AA¢、BB¢、CC¢兩兩相交.

(1)求證：這三條直線AA¢、BB¢、CC¢交于一點；

(2) 若直線AB和A¢B¢、BC和B¢C¢、CA和C¢A¢分別交于P、Q、R，求證：P、Q、R三點共線.

思悟提煉：用平面的基本性質(zhì)證明空間三點共線、三線共點的方法.

[例5] 長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=a，BC=b，AA₁=c，且a>b，求：

(1)　 下列異面直線之間的距離：

AB與CC₁；AB與A₁C₁；AB與B₁C.

(2)異面直線D₁B與AC所成角的余弦值.

解(1)：BC為異面直線AB與CC₁的公垂線段，故AB與CC₁的距離為b.

AA₁為異面直線AB與A₁C₁的公垂線段，故AB與A₁C₁的距離為c.

過B作BE⊥B₁C，垂足為E，則BE為異面直線AB與B₁C的公垂線，BE==，即為所求.

(2)解法一：連結BD交AC于點O，取DD₁的中點F，連結OF、AF，則OF∥D₁B，∴∠AOF就是異面直線D₁B與AC所成的角.

∵ AO=，OF=

BD₁=，AF=，

∴ 在△AOF中，

cos∠AOF=

=

解法二:補圖形如下,在ΔBGD₁中,∠GBD₁為所求角的補角--

3.C；　 4.C　 5.C

2． ´；Ö；Ö；´；Ö；´；´；´.　　

1．不共線；六個；　 0個、一個或三個.

6．畫出上題圖B中平面PQR與下底面的交線.

◆答案提示：

5．下列各圖是正方體或正四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點，則PQ與SR一定是異面直線的是

4. 直線a、b相交于點O且a、b成60°角，過點O與a、b都成60°角的直線有(　 )

A.1條　 B.2條　 C.3條　 D.4條

3．(2006福建)對平面和共面的直線、下列命題中真命題是　　　　 (　 )

(A)若則　

(B)若則

(C)若則　

(D)若、與所成的角相等，則

2. 判斷下列命題真假

(1)四邊相等且有一個內(nèi)角是直角的四邊形是正方形； 　　　　　　　　( 　)

(2)四點不共面，則其中任意三點不共線；　　　　　　　　　　　　　 ( 　)

(3)“平面不經(jīng)過直線”的等價說法是“直線上至多有一個點在平面內(nèi)”　 (　 )

(4)兩個平面有三個共公點，那么這兩個平面重合；　　 　　　　　　　　( 　)

(5)三個平面可以把空間分成四、六、七、八個部分；　　　　 　　　　　( 　)

(6)過直線外一點向直線引垂線，有且只有一條；　　　　　　　　　　　 ( 　)

(7)異面直線a與c、b與c所成的角相等，則a與b平行或異面　　 　　( 　)

(8)過空間任一點一定可以作一條直線與兩條異面直線都相交.　　　 　　　(　 )