24、(2009年重慶卷)25．如題25圖，離子源A產(chǎn)生的初速為零、帶電量均為e、質(zhì)量不同的正離子被電壓為U₀的加速電場(chǎng)加速后勻速通過(guò)準(zhǔn)直管，垂直射入勻強(qiáng)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，偏轉(zhuǎn)后通過(guò)極板HM上的小孔S離開電場(chǎng)，經(jīng)過(guò)一段勻速直線運(yùn)動(dòng)，垂直于邊界MN進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。已知HO＝d，HS＝2d，＝90°。(忽略粒子所受重力)

(1)求偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E₀的大小以及HM與MN的夾角φ；

(2)求質(zhì)量為m的離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；

(3)若質(zhì)量為4m的離子垂直打在NQ的中點(diǎn)S₁處，質(zhì)量為16m的離子打在S₂處。求S₁和S₂之間的距離以及能打在NQ上的正離子的質(zhì)量范圍。

解析：(1)正離子被電壓為U₀的加速電場(chǎng)加速后速度設(shè)為v₁，設(shè)

對(duì)正離子，應(yīng)用動(dòng)能定理有eU₀＝mv₁²，

正離子垂直射入勻強(qiáng)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，作類平拋運(yùn)動(dòng)

受到電場(chǎng)力F＝qE₀、產(chǎn)生的加速度為a＝，

即a＝，

垂直電場(chǎng)方向勻速運(yùn)動(dòng)，有2d＝v₁t，

沿場(chǎng)強(qiáng)方向：Y＝at²，

聯(lián)立解得E₀＝

又tanφ＝，解得φ＝45°；

(2)正離子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為v₂＝，

正離子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛侖茲力提供向心力

　 qv₂B＝，

解得離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R＝2；

(3)根據(jù)R＝2可知，

質(zhì)量為4m的離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)打在S₁，運(yùn)動(dòng)半徑為R₁＝2，

質(zhì)量為16m的離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)打在S₂，運(yùn)動(dòng)半徑為R₂＝2，

又ON＝R₂－R₁，

由幾何關(guān)系可知S₁和S₂之間的距離ΔS＝－R₁，

聯(lián)立解得ΔS＝4(－1)；

由R′²＝(2 R₁)²+( R′－R₁)²解得R′＝R₁，

再根據(jù)R₁＜R＜R₁，

解得m＜m_x＜25m。

23、(2009年海南物理)16．如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形。質(zhì)量為、電荷量為e的電子以大小為v₀的初速度沿紙面垂直于BC變射入正方形區(qū)域。在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場(chǎng)。電子從BC邊上的任意點(diǎn)入射，都只能從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)。不計(jì)重力，求：

(1)次勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大��；

(2)此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。

解析：(1)設(shè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。令圓弧是自C點(diǎn)垂直于BC入射的電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)行軌道。電子所受到的磁場(chǎng)的作用力

應(yīng)指向圓弧的圓心，因而磁場(chǎng)的方向應(yīng)垂直于紙面向外。圓弧的圓心在CB邊或其延長(zhǎng)線上。依題意，圓心在A、C連線的中垂線上，故B 點(diǎn)即為圓心，圓半徑為按照牛頓定律有　

　 聯(lián)立①②式得　　　　

(2)由(1)中決定的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大小，可知自點(diǎn)垂直于入射電子在A點(diǎn)沿DA方向射出，且自BC邊上其它點(diǎn)垂直于入射的電子的運(yùn)動(dòng)軌道只能在BAEC區(qū)域中。因而，圓弧是所求的最小磁場(chǎng)區(qū)域的一個(gè)邊界。

為了決定該磁場(chǎng)區(qū)域的另一邊界，我們來(lái)考察射中A點(diǎn)的電子的速度方向與BA的延長(zhǎng)線交角為(不妨設(shè))的情形。該電子的運(yùn)動(dòng)軌跡如右圖所示。圖中，圓的圓心為O，pq垂直于BC邊 ，由③式知，圓弧的半徑仍為，在D為原點(diǎn)、DC為x軸，AD為軸的坐標(biāo)系中，P點(diǎn)的坐標(biāo)為

這意味著，在范圍內(nèi)，p點(diǎn)形成以D為圓心、為半徑的四分之一圓周，它是電子做直線運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的分界線，構(gòu)成所求磁場(chǎng)區(qū)域的另一邊界。

因此，所求的最小勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)分別以和為圓心、為半徑的兩個(gè)四分之一圓周和所圍成的，其面積為

22、(2009年四川卷)25．如圖所示，輕彈簧一端連于固定點(diǎn)O，可在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端連接一帶電小球P,其質(zhì)量m=2×10^-2 kg,電荷量q=0.2 C.將彈簧拉至水平后，以初速度V₀=20 m/s豎直向下射出小球P,小球P到達(dá)O點(diǎn)的正下方O₁點(diǎn)時(shí)速度恰好水平，其大小V=15 m/s.若O、O₁相距R=1.5 m,小球P在O₁點(diǎn)與另一由細(xì)繩懸掛的、不帶電的、質(zhì)量M=1.6×10^-1 kg的靜止絕緣小球N相碰。碰后瞬間，小球P脫離彈簧，小球N脫離細(xì)繩，同時(shí)在空間加上豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)E和垂直于紙面的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T的弱強(qiáng)磁場(chǎng)。此后，小球P在豎直平面內(nèi)做半徑r=0.5 m的圓周運(yùn)動(dòng)。小球P、N均可視為質(zhì)點(diǎn)，小球P的電荷量保持不變，不計(jì)空氣阻力，取g=10 m/s²。那么，

(1)彈簧從水平擺至豎直位置的過(guò)程中，其彈力做功為多少？

(2)請(qǐng)通過(guò)計(jì)算并比較相關(guān)物理量，判斷小球P、N碰撞后能否在某一時(shí)刻具有相同的速度。

　(3)若題中各量為變量，在保證小球P、N碰撞后某一時(shí)刻具有相同速度的前提下，請(qǐng)推導(dǎo)出r的表達(dá)式(要求用B、q、m、θ表示，其中θ為小球N的運(yùn)動(dòng)速度與水平方向的夾角)。

解析：

(1)設(shè)彈簧的彈力做功為W，有：　

　　　　　�、�

代入數(shù)據(jù)，得：W＝J　　　　　�、�

(2)由題給條件知，N碰后作平拋運(yùn)動(dòng)，P所受電場(chǎng)力和重力平衡，P帶正電荷。設(shè)P、N碰后的速度大小分別為v₁和V，并令水平向右為正方向，有: 　　③

而： 　　　　　　�、�

若P、N碰后速度同向時(shí)，計(jì)算可得V<v₁，這種碰撞不能實(shí)現(xiàn)。P、N碰后瞬時(shí)必為反向運(yùn)動(dòng)。有： 　　　　�、�

P、N速度相同時(shí)，N經(jīng)過(guò)的時(shí)間為，P經(jīng)過(guò)的時(shí)間為。設(shè)此時(shí)N的速度V₁的方向與水平方向的夾角為，有：

　　　　　　　　　　 ⑥

　　　　　⑦

代入數(shù)據(jù)，得： 　　　　　⑧

對(duì)小球P，其圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，有：

　　　　　　　　　 ⑨

經(jīng)計(jì)算得： ＜T，

P經(jīng)過(guò)時(shí)，對(duì)應(yīng)的圓心角為，有： �、�

當(dāng)B的方向垂直紙面朝外時(shí)，P、N的速度相同，如圖可知，有：

聯(lián)立相關(guān)方程得：

比較得， ，在此情況下，P、N的速度在同一時(shí)刻不可能相同。

當(dāng)B的方向垂直紙面朝里時(shí)，P、N的速度相同，同樣由圖，有： ，

同上得： ，

比較得， ，在此情況下，P、N的速度在同一時(shí)刻也不可能相同。

(3)當(dāng)B的方向垂直紙面朝外時(shí)，設(shè)在t時(shí)刻P、N的速度相同， ，

再聯(lián)立④⑦⑨⑩解得：

當(dāng)B的方向垂直紙面朝里時(shí)，設(shè)在t時(shí)刻P、N的速度相同，

同理得： ，

考慮圓周運(yùn)動(dòng)的周期性，有:

(給定的B、q、r、m、等物理量決定n的取值)

21、(2009年江蘇卷)15．如圖所示，兩平行的光滑金屬導(dǎo)軌安裝在一光滑絕緣斜面上，導(dǎo)軌間距為l、　　　 足夠長(zhǎng)且電阻忽略不計(jì)，導(dǎo)軌平面的傾角為，條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度為d，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向與導(dǎo)軌平面垂直。長(zhǎng)度為2d的絕緣桿將導(dǎo)體棒和正方形的單匝線框連接在一起組成“”型裝置，總質(zhì)量為m，置于導(dǎo)軌上。導(dǎo)體棒中通以大小恒為I的電流(由外接恒流源產(chǎn)生，圖中未圖出)。線框的邊長(zhǎng)為d(d < l)，電阻為R，下邊與磁場(chǎng)區(qū)域上邊界重合。將裝置由靜止釋放，導(dǎo)體棒恰好運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)區(qū)域下邊界處返回，導(dǎo)體棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終與導(dǎo)軌垂直。重力加速度為g。

求：(1)裝置從釋放到開始返回的過(guò)程中，線框中產(chǎn)生的焦耳熱Q；

　 (2)線框第一次穿越磁場(chǎng)區(qū)域所需的時(shí)間t₁ ；

　 (3)經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)時(shí)間后，線框上邊與磁場(chǎng)區(qū)域下邊界的最大距離_m 。

答案：(1)

(2)

(3)

[解析] (1)設(shè)裝置由靜止釋放到導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)下邊界的過(guò)程中，作用在線框上的安培力做功為W

　　　 由動(dòng)能定理　

且

解得　

(2)設(shè)線框剛離開磁場(chǎng)下邊界時(shí)的速度為，則接著向下運(yùn)動(dòng)

由動(dòng)能定理　

裝置在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)收到的合力

感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)　 E=Bdv

感應(yīng)電流　　 I^/=E/R

安培力　　　

由牛頓第二定律，在t到t+時(shí)間內(nèi)，有

則

有

解得　

(3)經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)時(shí)間后，線框在磁場(chǎng)下邊界與最大距離之間往復(fù)運(yùn)動(dòng)

　　 由動(dòng)能定理　

　　 解得　　

20、(2009年江蘇卷)14．1932年，勞倫斯和利文斯設(shè)計(jì)出了回旋加速器�；匦�加速器的工作原理如圖所示，置于高真空中的D形金屬盒半徑為R，兩盒間的狹縫很小，帶電粒子穿過(guò)的時(shí)間可以忽略不計(jì)。磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與盒面垂直。A處粒子源產(chǎn)生的粒子，質(zhì)量為m、電荷量為+q ，在加速器中被加速，加速電壓為U。加速過(guò)程中不考慮相對(duì)論效應(yīng)和重力作用。

(1)求粒子第2次和第1次經(jīng)過(guò)兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比；

(2)求粒子從靜止開始加速到出口處所需的時(shí)間t ；

(3)實(shí)際使用中，磁感應(yīng)強(qiáng)度和加速電場(chǎng)頻率都有最大值的限制。若某一加速器磁感應(yīng)強(qiáng)度和加速電場(chǎng)頻率的最大值分別為B_m、f_m，試討論粒子能獲得的最大動(dòng)能E_㎞。

答案：(1)(2)(3)

[解析] (1)設(shè)粒子第1次經(jīng)過(guò)狹縫后的半徑為r₁,速度為v₁

qu=mv₁²

qv₁B=m

解得　

同理，粒子第2次經(jīng)過(guò)狹縫后的半徑　

則

(2)設(shè)粒子到出口處被加速了n圈

解得　

(3)加速電場(chǎng)的頻率應(yīng)等于粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的頻率，即

當(dāng)磁場(chǎng)感應(yīng)強(qiáng)度為B_m時(shí)，加速電場(chǎng)的頻率應(yīng)為

粒子的動(dòng)能

當(dāng)≤時(shí)，粒子的最大動(dòng)能由B_m決定

解得

當(dāng)≥時(shí)，粒子的最大動(dòng)能由f_m決定

　　　　 解得

19、(2009年浙江卷)25．如圖所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上。在xOy平面內(nèi)與y軸平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在半徑為R的圓內(nèi)還有與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。在圓的左邊放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它沿x軸正方向發(fā)射出一束具有相同質(zhì)量m、電荷量q(q＞0)和初速度v的帶電微粒。發(fā)射時(shí)，這束帶電微粒分布在0＜y＜2R的區(qū)間內(nèi)。已知重力加速度大小為g。

(1)從A點(diǎn)射出的帶電微粒平行于x軸從C點(diǎn)進(jìn)入有磁場(chǎng)區(qū)域，并從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸負(fù)方向離開，求電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小與方向。

(2)請(qǐng)指出這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域，并說(shuō)明理由。

(3)在這束帶電磁微粒初速度變?yōu)?v，那么它們與x軸相交的區(qū)域又在哪里？并說(shuō)明理由。

答案(1)；方向垂直于紙面向外(2)見解析(3)與x同相交的區(qū)域范圍是x>0.

[解 析]本題考查帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。

帶電粒子平行于x軸從C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，說(shuō)明帶電微粒所受重力和電場(chǎng)力平衡。設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，由　

可得　　 　　方向沿y軸正方向。

帶電微粒進(jìn)入磁場(chǎng)后，將做圓周運(yùn)動(dòng)。 且　r=R

如圖(a)所示，設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。由

得　　 　　方向垂直于紙面向外

(2)這束帶電微粒都通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。

方法一：從任一點(diǎn)P水平進(jìn)入磁場(chǎng)的帶電微粒在磁場(chǎng)中做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其圓心位于其正下方的Q點(diǎn)，如圖b所示，這束帶電微粒進(jìn)入磁場(chǎng)后的圓心軌跡是如圖b的虛線半圓，此圓的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)。

方法二：從任一點(diǎn)P水平進(jìn)入磁場(chǎng)的帶電微粒在磁場(chǎng)中做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如圖b示，高P點(diǎn)與O′點(diǎn)的連線與y軸的夾角為θ，其圓心Q的坐標(biāo)為(-Rsinθ，Rcosθ),圓周運(yùn)動(dòng)軌跡方程為

得　　　　　 x=0　　　　　　　　　　 x=-Rsinθ

　　　　　　　　　 y=0　　　　　 或　　　　 y=R(1+cosθ)

(3)這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域是x>0

帶電微粒在磁場(chǎng)中經(jīng)過(guò)一段半徑為r′的圓弧運(yùn)動(dòng)后，將在y同的右方(x>0)的區(qū)域離開磁場(chǎng)并做勻速直線運(yùn)動(dòng)，如圖c所示�？拷麺點(diǎn)發(fā)射出來(lái)的帶電微粒在突出磁場(chǎng)后會(huì)射向x同正方向的無(wú)窮遠(yuǎn)處國(guó)靠近N點(diǎn)發(fā)射出來(lái)的帶電微粒會(huì)在靠近原點(diǎn)之處穿出磁場(chǎng)。

所以，這束帶電微粒與x同相交的區(qū)域范圍是x>0.

18、(2009年福建卷)22．圖為可測(cè)定比荷的某裝置的簡(jiǎn)化示意圖，在第一象限區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=2.0×10^-3T,在y軸上距坐標(biāo)原點(diǎn)L=0.50m的P處為離子的入射口，在y上安放接收器，現(xiàn)將一帶正電荷的粒子以v=3.5×10⁴m/s的速率從P處射入磁場(chǎng)，若粒子在y軸上距坐標(biāo)原點(diǎn)L=0.50m的M處被觀測(cè)到，且運(yùn)動(dòng)軌跡半徑恰好最小，設(shè)帶電粒子的質(zhì)量為m,電量為q,不記其重力。

(1)求上述粒子的比荷；

(2)如果在上述粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某個(gè)時(shí)刻，在第一象限內(nèi)再加一個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)，就可以使其沿y軸正方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求該勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小和方向，并求出從粒子射入磁場(chǎng)開始計(jì)時(shí)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間加這個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)；

(3)為了在M處觀測(cè)到按題設(shè)條件運(yùn)動(dòng)的上述粒子，在第一象限內(nèi)的磁場(chǎng)可以局限在一個(gè)矩形區(qū)域內(nèi)，求此矩形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積，并在圖中畫出該矩形。

答案(1)=4.9×C/kg(或5.0×C/kg)；(2) ； (3)

[解析]本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。第(2)問涉及到復(fù)合場(chǎng)(速度選擇器模型)第(3)問是帶電粒子在有界磁場(chǎng)(矩形區(qū)域)中的運(yùn)動(dòng)。

(1)設(shè)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑為r。如圖，依題意M、P連線即為該粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的直徑，由幾何關(guān)系得

　　 　　　�、�

由洛倫茲力提供粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，可得

　　 　　　　②

聯(lián)立①②并代入數(shù)據(jù)得

=4.9×C/kg(或5.0×C/kg)　 ③

(2)設(shè)所加電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E。如圖，當(dāng)粒子子經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)，速度沿y軸正方向，依題意，在此時(shí)加入沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)力與此時(shí)洛倫茲力平衡，則有

　　 　　　　④

代入數(shù)據(jù)得

　　 　�、�

所加電場(chǎng)的長(zhǎng)槍方向沿x軸正方向。由幾何關(guān)系可知，圓弧PQ所對(duì)應(yīng)的圓心角為45°，設(shè)帶點(diǎn)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，所求時(shí)間為t，則有

　　 　�、�

　　 　　　�、�

聯(lián)立①⑥⑦并代入數(shù)據(jù)得

　　 �、�

(3)如圖，所求的最小矩形是，該區(qū)域面積

　　 　　　　　　⑨

聯(lián)立①⑨并代入數(shù)據(jù)得

矩形如圖丙中(虛線)

17、(2009年山東卷)25．如圖甲所示，建立Oxy坐標(biāo)系，兩平行極板P、Q垂直于y軸且關(guān)于x軸對(duì)稱，極板長(zhǎng)度和板間距均為l，第一四象限有磁場(chǎng)，方向垂直于Oxy平面向里。位于極板左側(cè)的粒子源沿x軸間右連接發(fā)射質(zhì)量為m、電量為+q、速度相同、重力不計(jì)的帶電粒子在0~3t時(shí)間內(nèi)兩板間加上如圖乙所示的電壓(不考慮極邊緣的影響)。

已知t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子恰好在t₀時(shí)，刻經(jīng)極板邊緣射入磁場(chǎng)。上述m、q、l、l₀、B為已知量。(不考慮粒子間相互影響及返回板間的情況)

(1)求電壓U的大小。

(2)求時(shí)進(jìn)入兩板間的帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑。

(3)何時(shí)把兩板間的帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短？求此最短時(shí)間。

答案：(1)(2)(3)

[解析](1)t=o時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子在電場(chǎng)中做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，t₀時(shí)刻剛好從極板邊緣射出，在y軸負(fù)方向偏移的距離為l/2，則有

　　 ①

Eq=ma　　 ②

l/2=at₀²/2　　 ③

聯(lián)立以上三式，解得兩極板間偏轉(zhuǎn)電壓為④。

(2)t₀/2時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子，前t₀/2時(shí)間在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，后t₀/2時(shí)間兩極板沒有電場(chǎng)，帶電粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

帶電粒子沿x軸方向的分速度大小為v₀=l/t₀ ⑤

帶電粒子離開電場(chǎng)時(shí)沿y軸負(fù)方向的分速度大小為 ⑥

帶電粒子離開電場(chǎng)時(shí)的速度大小為 ⑦

設(shè)帶電粒子離開電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，則有 ⑧

聯(lián)立③⑤⑥⑦⑧式解得 ⑨。

(3)2t₀時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短。帶電粒子離開磁場(chǎng)時(shí)沿y軸正方向的分速度為 ⑩，

設(shè)帶電粒子離開電場(chǎng)時(shí)速度方向與y軸正方向的夾角為，則，

聯(lián)立③⑤⑩式解得，帶電粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的軌跡圖如圖所示，圓弧所對(duì)的圓心角為，所求最短時(shí)間為,帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為，聯(lián)立以上兩式解得。

16、(2009年天津卷)11．如圖所示，直角坐標(biāo)系xOy位于豎直平面內(nèi)，在水平的x軸下方存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)為B,方向垂直xOy平面向里，電場(chǎng)線平行于y軸。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的小球，從y軸上的A點(diǎn)水平向右拋出，經(jīng)x軸上的M點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)和磁場(chǎng)，恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從x軸上的N點(diǎn)第一次離開電場(chǎng)和磁場(chǎng)，MN之間的距離為L(zhǎng)，小球過(guò)M點(diǎn)時(shí)的速度方向與x軸的方向夾角為。不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，求

(1)　　 電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小和方向；

(2)　　 小球從A點(diǎn)拋出時(shí)初速度v₀的大小；

(3)　　 A點(diǎn)到x軸的高度h.

答案：(1)，方向豎直向上　 (2)　　　 (3)

[解析]本題考查平拋運(yùn)動(dòng)和帶電小球在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。

(1)小球在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明電場(chǎng)力和重力平衡(恒力不能充當(dāng)圓周運(yùn)動(dòng)的向心力)，有　　　　　　 　　　　　　�、�

　　　　 　　�、�

重力的方向豎直向下，電場(chǎng)力方向只能向上，由于小球帶正電，所以電場(chǎng)強(qiáng)度方向豎直向上。

(2)小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，O′為圓心，MN為弦長(zhǎng)，，如圖所示。設(shè)半徑為r，由幾何關(guān)系知　　　 　　　　　　　　③

小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛侖茲力白日提供，設(shè)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的速率為v，有　　　　　　 　　　　　　�、�

　　　 由速度的合成與分解知 　　　　　　　　　�、�

由③④⑤式得　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

(3)設(shè)小球到M點(diǎn)時(shí)的豎直分速度為v_y，它與水平分速度的關(guān)系為

　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑦

由勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

由⑥⑦⑧式得　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

15、(2009年全國(guó)卷Ⅱ)25．如圖,在寬度分別為l₁和l₂的兩個(gè)毗鄰的條形區(qū)域分別有勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，電場(chǎng)方向與電、磁場(chǎng)勻界線平行左右。一帶正電荷的粒子以速率v從磁場(chǎng)區(qū)域上邊界的P點(diǎn)斜射入磁場(chǎng)，然后以垂直于電、磁場(chǎng)分界線的方向進(jìn)入電場(chǎng)，最后從電場(chǎng)邊界上的Q點(diǎn)射出，已知PQ垂直于電場(chǎng)方向，粒子軌跡與電、磁場(chǎng)分界線的交點(diǎn)到PQ的距離為d。不計(jì)重力，求電場(chǎng)強(qiáng)度與磁感應(yīng)強(qiáng)度大小之比及粒子在磁場(chǎng)與電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比。

答案

[解析] 粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),如圖所示。由于粒子在分界線處的速度與分界線垂直。圓心O應(yīng)在分界線上，OP長(zhǎng)度即為粒子運(yùn)動(dòng)的圓弧的半徑R.由幾何關(guān)系得

………①

設(shè)粒子的質(zhì)量和所帶正電荷分別為m和q,由洛侖茲力公式和牛頓第二定律得

　　　　　　 ……………②

設(shè)為虛線與分界線的交點(diǎn),,則粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為……③

式中有………④粒子進(jìn)入電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng),其初速度為v,方向垂直于電場(chǎng).設(shè)粒子的加速度大小為a,由牛頓第二定律得…………⑤

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有……⑥　　　　　　　　　 ………⑦

由①②⑤⑥⑦式得…………⑧

由①③④⑦式得