Question

（1）2²⁰除以7的余數(shù)是多少？
（2）14¹⁴除以11的余數(shù)是多少？
（3）28¹²¹除以13的余數(shù)是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：帶余除法

專題：余數(shù)問題

分析：（1）分別求出2³、2⁴、2⁵、2⁶…除以7的余數(shù)，總結(jié)出規(guī)律，然后判斷出所求的余數(shù)是多少即可；
（2）首先根據(jù)14¹⁴=（11+3）¹⁴，可得14¹⁴除以11同余3¹⁴除以11；然后分別求出3³、3⁴、3⁵、3⁶…除以11的余數(shù)，總結(jié)出規(guī)律，然后判斷出所求的余數(shù)是多少即可；
（3）首先根據(jù)28¹²¹=（13×2+2）¹²¹，所以28¹²¹除以13同余2¹²¹，然后分別求出2⁴、2⁵、2⁶、2⁷…除以13的余數(shù)，總結(jié)出規(guī)律，然后判斷出所求的余數(shù)是多少即可．

解答： 解：（1）因?yàn)?³÷7=1…1，2⁴÷7=2…2，2⁵÷7=4…4，2⁶÷7=9…1，…
所以從2³開始，除以7的余數(shù)分別是1、2、4、1、2、4…，每3個(gè)一循環(huán)，分別是1、2、4，
因?yàn)椋?0-2）÷3=6，
所以2²⁰除以7的余數(shù)是4；

（2）根據(jù)14¹⁴=（11+3）¹⁴，可得14¹⁴除以11同余3¹⁴除以11，
因?yàn)?³÷11=2…5，3⁴÷11=7…4，3⁵÷11=22…1，3⁶÷11=66…3，3⁷÷11=198…9，3⁸÷11=596…5，…
所以從3³開始，除以11的余數(shù)分別是5、4、1、3、9、5…，每5個(gè)一循環(huán)，分別是5、4、1、3、9，
因?yàn)椋?4-2）÷5=2…2，
所以14¹⁴除以11的余數(shù)是4；

（3）根據(jù)28¹²¹=（13×2+2）¹²¹，所以28¹²¹除以13同余2¹²¹，
因?yàn)?⁴÷13=1…3，2⁵÷13=2…6，2⁶÷13=4…12，2⁷÷13=9…11，2⁸÷13=19…9，
2⁹÷13=39…5，2¹⁰÷13=78…10，2¹¹÷13=157…7，2¹²÷13=315…1，2¹³÷13=630…2，
2¹⁴÷13=1260…4，2¹⁵÷13=2520…8，2¹⁶÷13=5041…3，
所以從2⁴開始，除以13的余數(shù)分別是3、6、12、11、9、5、10、7、1、2、4、8、3…，
每12個(gè)一循環(huán)，分別是3、6、12、11、9、5、10、7、1、2、4、8，
因?yàn)椋?21-3）÷12=9…10，
所以28¹²¹除以13的余數(shù)是2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了帶余除法的性質(zhì)的應(yīng)用，以及同余定理的應(yīng)用．