Question

三位數(shù)A滿足：它的所有質(zhì)因數(shù)之和是26．這樣的三位數(shù)A有

 

個．

Answer 1

考點(diǎn)：整數(shù)的裂項與拆分

專題：

分析：首先解釋一下題目中的質(zhì)因數(shù)的兩個理解要點(diǎn)：
1、質(zhì)因數(shù)必須是質(zhì)數(shù)，這也要求我們在分解質(zhì)因數(shù)時必須分解完全，而且每一個數(shù)的分解質(zhì)因數(shù)形式是唯一的（一般從小到大）．
2、一個數(shù)的質(zhì)因數(shù)有2和3，不代表這個數(shù)就是2×3=6，而應(yīng)該是一系列數(shù)．
找出26以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，分類解答．

解答： 解：小于26的質(zhì)因數(shù)有2、3、5、7、11、13、17、19、23．
若A的最大質(zhì)因數(shù)是23，另一個質(zhì)因數(shù)只能是3，A=23×3=69，不符合題意．
若A的最大質(zhì)因數(shù)是19，那么其它質(zhì)因數(shù)可以是7，2+2+3，2+5．A=19×7=133，A=19×2×2×3=228，A=19×2×5=190，有3個．
若A的最大質(zhì)因數(shù)是17，那么其它質(zhì)因數(shù)可以是2+2+2+3，2+2+5，2+7，3+3+3．A=17×2×2×2×3=408，A=17×2×2×5=340，A=17×2×7=238，A=17×3×3×3=458，有4個．
若A的最大質(zhì)因數(shù)是13，那么其它質(zhì)因數(shù)可以是13，2+2+2+2+2+3，2+2+2+2+5，2+2+2+7，2+2+3+3+3，2+3+3+5，2+11，3+3+7，3+5+5，滿足條件的有13×2×11=286，13×3×3×7=819，13×3×5×5=975，13×13=169，有4個．
若A的最大質(zhì)因數(shù)是11，那么其它質(zhì)因數(shù)可以是2+2+2+2+2+2+3，2+2+2+2+2+5，2+2+2+2+7，2+2+2+3+3+3，2+2+3+3+5，2+2+11，2+3+3+7，2+3+5+5，只有A=11×2×2×11=484滿足條件．
若A的最大質(zhì)因數(shù)是7，那么剩下的質(zhì)因數(shù)無論怎么拆分，乘積都大于999，因此這樣的三位數(shù)有12個．
故答案為：12．

點(diǎn)評：這是一道關(guān)于分解質(zhì)因數(shù)的數(shù)論與計數(shù)相結(jié)合的綜合題型，難度較大，此題采用了枚舉法進(jìn)行解答，步驟較復(fù)雜，須認(rèn)真仔細(xì)．