Question

請(qǐng)對(duì)5×5表格中的25個(gè)格子進(jìn)行黑白染色，使得其中每個(gè)2×2表格黑白染色的情況各不相同（不允許旋轉(zhuǎn)和翻）．

Answer 1

考點(diǎn)：染色問題

專題：傳統(tǒng)應(yīng)用題專題

分析：若在方格中確定了一個(gè)角的顏色，其他3格有8種可能性．
以左上角的大方格為例，里面每個(gè)格都可以作為一個(gè)的左上角，根據(jù)抽屜原理，左上角同一色的塊不超過8個(gè)．故而在每個(gè)的大方格都染有8黑8白，繼而可以推出每條邊上的方格都是黑白數(shù)相同，即2黑2白，故四個(gè)角一定是同色．
不妨設(shè)四個(gè)角都是白色，那么四條邊中心三個(gè)都是2黑1白．四個(gè)角的格子會(huì)在1個(gè) 的正方形中用到，四條邊中間的格子會(huì)在2個(gè)中用到，中心 的格子會(huì)在4個(gè)中用到．16種 的染法共需用32黑32白，故而中心9格中有5白4黑．若 它的上半部分是2白，那么下半部分有4種可能．下半部分2白同理，故而橫向連續(xù)的2白有4組或5組，其中
若第一行有則最后一行一定有，為5組，第一行沒有則最后一行也沒有，為4組．
若第一行和最后一行都沒有2白組，那么白色 正方形一定在中間三行，繼而可得一定在中間 內(nèi)，要滿足有4個(gè)2白組的條件，又不能出現(xiàn)一行3連白和一行3連黑直接相鄰，試驗(yàn)可知不存在滿足情況的條件．所以第一行和最后一行都有2白組．同理，最左邊列和最右邊列都有縱向2白組．所以每條邊中間都一定是黑色．繼而可知橫向2黑組合縱向2黑組都各有5組．
由對(duì)稱性，不妨設(shè)第一行左到右為“白白黑黑白”，由于有一個(gè)黑正方形，要么和某個(gè)邊的兩黑相連，要么就在中心．若在中心，那么中心部分剩下5個(gè)都是白色，根據(jù)之前的要求，只有右圖一種填法，易知產(chǎn)生矛盾，不滿足要求．故而黑正方形和某邊兩黑相連．那么由對(duì)稱性，將已經(jīng)確定的填好，如右下圖所示．考慮A處，若為黑，那么B處為白，C處為黑，矛盾；故而A處只能為白、在此基礎(chǔ)上，對(duì)黑色剩下5個(gè)塊進(jìn)行試驗(yàn)，可以得到滿足要求的解．

解答： 解：根據(jù)分析作圖如下：

點(diǎn)評(píng)：正確分析題意，理解每個(gè)2×2表格黑白染色的情況各不相同是解決此題的關(guān)鍵．