Question

阿奇和8個(gè)好朋友去李老師家玩，李老師給每人發(fā)了一頂帽子，并在每個(gè)人的帽子上寫了一個(gè)兩位數(shù)，這9個(gè)兩位數(shù)互不相同，且每個(gè)小朋友只能看見別人帽子上的數(shù)．
李老師在紙上寫了一個(gè)自然數(shù)A，問這9位同學(xué)：“你們知道自己帽子上的數(shù)能否被A整除嗎？知道的請(qǐng)舉手，”結(jié)果有4人舉手．
李老師又問：“現(xiàn)在你們知道自己帽子上的數(shù)能否被24整除嗎？知道的請(qǐng)舉手．”結(jié)果有6人舉手．
已知阿奇兩次都舉手了，并且這9位同學(xué)都足夠聰明且從不說謊．請(qǐng)問：除了阿奇之外的人帽子上8個(gè)兩位數(shù)的總和是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)的整除特征

專題：整除性問題

分析：通過有4人舉手，我們可以分析一下，為什么這4人會(huì)舉手？肯定是這4人看到了A的兩位數(shù)的所有倍數(shù)，從而判斷自己不是A的倍數(shù)，所以這四人才能肯定的舉手說明這四人一定知道自己頭上的數(shù)不是A的倍數(shù)，由于是4人舉手其他5人沒有舉手，說明A的兩位的倍數(shù)只有5個(gè)，并且全部出現(xiàn)在這9人里面．所以A只可能是17、18、19這三個(gè)數(shù)里面的一個(gè)．
并且小明舉了手，說明小明的數(shù)肯定不是A的倍數(shù)．
通過還是有小明在內(nèi)的6人舉手，也同樣的分析24的四個(gè)倍數(shù)24、48、72、96．并且小明舉了手，小明肯定也不是24的倍數(shù)．
通過小明的再次舉手說明小明既看到了A的5個(gè)倍數(shù)，同時(shí)也看到了24的四個(gè)倍數(shù)，即小明看到了9個(gè)數(shù)才能確保自己兩次舉手．而全部一共只有9個(gè)數(shù)，如果小明看到了9個(gè)不同的數(shù)再加上自己的數(shù)共有10個(gè)數(shù)了，所以我們分析肯定是24的倍數(shù)與A的倍數(shù)有一個(gè)重合了．而24的四個(gè)倍數(shù)里面只有72是18的倍數(shù)，其他數(shù)即不是17的倍數(shù)也不是19的倍數(shù)．
所以我們現(xiàn)在可以確定A是18．
即小明看到的數(shù)是18、36、54、72、90、24、48、96它們和是438．

解答： 解：知道自己帽子上的數(shù)能否被A整除的人=知道自己的帽子的數(shù)不能被A整除，也就是說9個(gè)兩位數(shù)只有5個(gè)能被A整除，所以5A≤99，6A＞100，所以A只能在17～19中取數(shù)．
同理，知道自己帽子上的數(shù)能否被24整除的人=知道自己的帽子的數(shù)不能被24整除，24的倍數(shù)有24，48，72，96，按理應(yīng)該有5人舉手才對(duì)，那么說明至少有一個(gè)人肯定知道自己能被24整除，同時(shí)也說明了A只能是18，因?yàn)?4的倍數(shù)里72能同時(shí)被18整除．
所以，其他8個(gè)人帽子上的兩位數(shù)分別是：18，36，54，（72），90，24，48，96，所以總和是438

點(diǎn)評(píng)：此題運(yùn)用數(shù)的整除特征以及判斷推理，解決問題．