Question

17．一場數(shù)學游戲在小聰和小明間展開：黑板上寫著自然數(shù)2，3，4，…，2007，2008，一名裁判現(xiàn)在隨意擦去其中的一個數(shù)，然后由小聰和小明輪流擦去其中的一個數(shù)（即小明先擦去一個數(shù)，小聰再擦去一個數(shù)，如此下去），若到最后剩下的兩個數(shù)互質(zhì)，則判小聰勝；否則判小明勝．問：小聰和小明誰有必勝策略？說明理由．

Answer 1

分析 （1）小聰采用如下策略：先擦去2008，然后將剩下的2006個自然數(shù)分為1003組，（2，3）（4，5），…（2006，2007），小明擦去哪個組的一個數(shù)，小聰接著就擦去同一組的另個數(shù)，這樣最后剩下的兩個數(shù)是相鄰的兩個數(shù)，而相鄰的兩個數(shù)是互質(zhì)的，所以小聰必勝；
（2）小明必勝的策略：①當小聰始終擦去偶數(shù)時，小明留下一對不互質(zhì)的奇數(shù)，例如，3和9，而擦去其余的奇數(shù)；②當小聰從某一步開始擦去奇數(shù)時，乙可以跟著擦去奇數(shù)，這樣最后給乙留下的三個數(shù)有兩種情況，一種是剩下一個偶數(shù)和兩個奇數(shù)3和9，此時乙擦掉那個偶數(shù)，另一種是至少兩個偶數(shù)，此時已留下兩個偶數(shù)就可以了．

解答 解：（1）小聰采用如下策略：先擦去2008，然后將剩下的2006個自然數(shù)分為1003組，（2，3）（4，5），…（2006，2007），
小明擦去哪個組的一個數(shù)，小聰接著就擦去同一組的另個數(shù)，這樣最后剩下的兩個數(shù)是相鄰的兩個數(shù)，而相鄰的兩個數(shù)是互質(zhì)的，
所以小聰必勝；

（2）小明必勝的策略：
①當小聰始終擦去偶數(shù)時，小明留下一對不互質(zhì)的奇數(shù)，例如，3和9，而擦去其余的奇數(shù)；
②當小聰從某一步開始擦去奇數(shù)時，小明可以跟著擦去奇數(shù)，
這樣最后給小明留下的三個數(shù)有兩種情況，
一種是剩下一個偶數(shù)和兩個奇數(shù)3和9，此時小明擦掉那個偶數(shù)，
另一種是至少兩個偶數(shù)，
此時小明留下兩個偶數(shù)就可以了．

點評 解答本題的關(guān)鍵是（1）小聰先擦掉2008，保證最后剩下的是兩個數(shù)為相鄰的數(shù)即可；（2）是看小聰如何擦，小明再靈活采取措施，保證剩下的兩個數(shù)不是互質(zhì)數(shù)．