Question

設(shè)n是小于50的自然數(shù)，求使得3n+5和5n+4有大于1的公約數(shù)的所有n．

Answer 1

考點(diǎn)：公約數(shù)與公倍數(shù)問題

專題：整除性問題

分析：對于小于50的自然數(shù)，設(shè)d是3n+5和5n+4大于1的公約數(shù)，則d整除5（3n+5）-3（5n+4）=13，所以d=13，進(jìn)而

3n+5=13k 5n+4=13l

，由3n+5=13k，可得k=3（n-4k）+5=3s+2，其中s=n-4k+1，所以n=4k+s-1=4（3s+2）+s-1=13s+7，然后求出所有n即可．

解答： 解：對于小于50的自然數(shù)，
設(shè)d是3n+5和5n+4大于1的公約數(shù)，
則d整除5（3n+5）-3（5n+4）=13，
所以d=13，進(jìn)而

3n+5=13k 5n+4=13m

，
由3n+5=13k，
可得k=3（n-4k）+5=3s+2，其中s=n-4k+1，
所以n=4k+s-1=4（3s+2）+s-1，
n=13s+7．
因為0≤n≤50，
所以0≤s≤3，對應(yīng)的n分別是7，20，33，46．
答：使得3n+5和5n+4有大于1的公約數(shù)的所有n是7，20，33，46．

點(diǎn)評：此題主要考查了公約數(shù)問題，解答此題的關(guān)鍵是首先設(shè)d是3n+5和5n+4大于1的公約數(shù)，根據(jù)題意，求出d=13．