Question

如圖，第（1）個(gè)多邊形由正三角形“擴(kuò)展”而來(lái)，邊數(shù)記為a₃，第（2）個(gè)多邊形由正方形“擴(kuò)展”而來(lái)，邊數(shù)記為a₄，…依此類推，由正n（n≥3）邊形“擴(kuò)展”而來(lái)的多邊形的邊數(shù)記為a_n．當(dāng)

1

a3

+

1

a4

+…+

1

an

的結(jié)果是

2007

6030

時(shí)，n的值是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律

專題：探索數(shù)的規(guī)律

分析：結(jié)合圖形觀察數(shù)字，發(fā)現(xiàn)：a₃=12=3×4，a₄=20=4×5，進(jìn)一步得到a_n=n（n+1）；在計(jì)算 

1

a3

+

1

a4

+

1

a5

+…+

1

an

的時(shí)候，根據(jù)

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，…進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算．

解答： 解：觀察圖形可得：a_n=n（n+1）；
當(dāng)

1

a3

+

1

a4

+

1

a5

+…+

1

an

=

2007

6030

，
有

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

n(n+1)

=

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

…+

1

n

-

1

n+1

=

1

3

-

1

n+1

=

2007

6030

，
解得n=2009．
答：n的值是2009．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圖形的變化規(guī)律題，注意從特殊推廣到一般，解方程時(shí)能夠利用分?jǐn)?shù)的加減法進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算．