Question

如圖，在長方形ABCD中，AE：ED=AF：AB=BG：GC．已知△EFC的面積為20，△FGD的面積為16，那么長方形ABCD的面積是多少？

Answer 1

考點：三角形面積與底的正比關系

專題：平面圖形的認識與計算

分析：利用比例性質和圖形中比較得出和差問題．三角形EFD和三角形CFG的面積之差是4．面積之和等于長方形CDEG的一半．通過比例的內項積等于外項積得到GC*AF=AB*BG，觀察一下發(fā)現(xiàn)三角形EFD等于四邊形ABGE的一半．而四邊形EDGF恰好等于四邊形ABGE的一半夾上四邊形EDCG的一半，所以三角形FDG恰好等于四邊形EDCG的一半．

解答： 解：設矩形ABCD的對邊AB=CD=a，AD=BC=b，再設題中的比例常數(shù)
AE：ED=AF：AB=BG：GC=k，把這個表達式變換成k和矩形ABCD邊長a、b的表達式，
則有：AE=BG=kb：（k+1）
ED=GC=

b

k+1

AF=ka，F(xiàn)B=（1-k）a
S（矩形ABCD）=ab=S（Rt△AFE）+S（△FEC）+S（ Rt△EDC）+S（Rt△FBC）
=

1

2

×AF×AE+20+

1

2

×ED×CD+

1

2

×FB×BC
=

1

2

×ka×kb：（k+1）+20+

1

2

×b：（k+1）×a+

1

2

×（1-k）a×b
=

1

k+1

×ab+20
解ab，得：
ab=

20×(k+1)

k

   （1）
同理S（矩形ABCD）=ab=S（Rt△FBG）+S（△FGD）+S（ Rt△GDC）+S（Rt△AFD）
=

1

2

×FB×BG+16+

1

2

×GC×CD+

1

2

×AF×AD
=

1

2

×（1-k）a×

k+1

kb

+16+

1

2

+b

b

k+1

×a+

1

2

×ka×b
=

2k+1

2k+2

×ab+16
解ab，得：
ab=32（k+1）（2）
根據（1）（2），解得k=

5

8

，代入（1）或（2），得到S（矩形ABCD）=ab=52cm

點評：本題主要利用的是比的性質和三角形的面積的計算方法．