Question

有4個互不相同的三位數(shù)，它們的首位數(shù)字相同，并且它們的和能被它們之中的3個數(shù)整除，請寫出這4個數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：整除性質(zhì)

專題：整除性問題

分析：設(shè)這四個數(shù)分別為m，n，p，q，且它們的和能被其中的n，p，q整除，n＜p＜q；則

m+n+p+q

n

=1+

m+p+q

n

=N（N為自然數(shù)），即

m+p+q

n

=N-1；因?yàn)樗鼈兊氖孜粩?shù)字相同，所以N-1應(yīng)該大約等于3，又因?yàn)閚＜p＜q，所以

m+p+q

n

=4；同理，可得

m+n+q

p

=3，

m+n+p

q

=2，解得：4p=5n=3q，由5n=3q，可得2n=3（q-n），因?yàn)閝和n的首數(shù)字相同，所以q-n的最大值為99，即n最大值為148，又因?yàn)?p=5n=3q，可得n能被12整除，求出n的值，進(jìn)而求出m、p、q的值即可．

解答： 解：設(shè)這四個數(shù)分別為m，n，p，q，且它們的和能被其中的n，p，q整除，n＜p＜q，
則

m+n+p+q

n

=1+

m+p+q

n

=N（N為自然數(shù)），
即

m+p+q

n

=N-1；
因?yàn)樗鼈兊氖孜粩?shù)字相同，
所以N-1應(yīng)該大約等于3，
又因?yàn)閚＜p＜q，
所以

m+p+q

n

=4；
同理，可得

m+n+q

p

=3，

m+n+p

q

=2，
解得：4p=5n=3q，
由5n=3q，可得2n=3（q-n），
因?yàn)閝和n的首數(shù)字相同，
所以q-n的最大值為99，即n最大值為148，
又因?yàn)?p=5n=3q，
可得n能被12整除，故n可以為108，120，132，144；可得p為135，150，…，q為180，200，…
所以n只能取108，從而p=135，q=180，m=117，
即這四個數(shù)是108，117，135，180．
答：這四個數(shù)是108，117，135，180．

點(diǎn)評：此題主要考查了整除的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了分析推理能力的應(yīng)用．