Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分別以DA、AB、BC為邊向梯形外作正方形，其面積分別為S₁，S₂，S₃，則S₁，S₂，S₃之間的關系是下列選項中的

1

．

A．S₁+S₂＞S₃；

B．S₁+S₃=S₂；

C．S₁+S₃＜S₂；

D．無法確定．

Answer 1

分析：先過A作AE∥BC，交CD于E，由于AB∥CD，AE∥BC，易證四邊形ABCE是平行四邊形，從而有AE=BC，CE=AB，而DC=2AB，易得DE=AB，又由于AE∥BC，那么∠1=∠BCD，而∠ADC+∠BCD=90°，易得∠ADC+∠1=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠DAE=90°，利用勾股定理可得DE²=AD²+AE²，進而有AB²=AD²+BC²，那么S₂=S₁+S₃．

解答：解：過點A作AE∥BC交CD于點E，

因為AB∥DC，
所以四邊形AECB是平行四邊形，
所以AB=CE，BC=AE，∠BCD=∠AED，
因為∠ADC+∠BCD=90°，DC=2AB，
所以AB=DE，∠ADC+∠AED=90°，
所以∠DAE=90°那么AD²+AE²=DE²，
因為S₁=AD²，S₂=AB²=DE²，S₃=BC²=AE²，
所以S₂=S₁+S₃．
故選：B．

點評：本題考查了勾股定理，解題的關鍵在于通過作輔助線把梯形的問題轉換為平行四邊形和直角三角形的問題，然后把三個正方形的邊長整理到一個三角形中進行解題．