Question

（1）黑板上寫(xiě)有2005個(gè)連續(xù)的自然數(shù)：2，3，4，…，2005，2006．甲乙兩位同學(xué)來(lái)做一個(gè)游戲：兩人輪流擦去黑板上的數(shù)字，每人每次擦掉一個(gè)，甲先乙后．直到最后剩下兩個(gè)數(shù)為止．這時(shí)如果黑板上的兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則甲勝；如果黑板上的兩個(gè)數(shù)不是互質(zhì)數(shù)，則乙勝．問(wèn)甲有必勝的策略嗎？
（2）如果黑板上寫(xiě)的是2004個(gè)自然數(shù)2，3，…，2004，2005時(shí)，按（1）的規(guī)則游戲，誰(shuí)有必勝的策略？

Answer 1

分析：（1）甲采用如下策略：先擦去2006，然后將剩下的2004個(gè)自然數(shù)分為1002組，（2，3）（4，5），…（2004，2005），乙擦去哪個(gè)組的一個(gè)數(shù)，甲接著就擦去同一組的另個(gè)數(shù)，這樣最后剩下的兩個(gè)數(shù)是相鄰的兩個(gè)數(shù)，而相鄰的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)的，所以甲必勝；
（2）乙必勝的策略：①當(dāng)甲始終擦去偶數(shù)時(shí)，乙留下一對(duì)不互質(zhì)的奇數(shù)，例如，3和9，而擦去其余的奇數(shù)；②當(dāng)甲從某一步開(kāi)始擦去奇數(shù)時(shí)，乙可以跟著擦去奇數(shù)，這樣最后給乙留下的三個(gè)數(shù)有兩種情況，一種是剩下一個(gè)偶數(shù)和兩個(gè)奇數(shù)3和9，此時(shí)乙擦掉那個(gè)偶數(shù)，另一種是至少兩個(gè)偶數(shù)，此時(shí)已留下兩個(gè)偶數(shù)就可以了．

解答：解：（1）甲采用如下策略：先擦去2006，然后將剩下的2004個(gè)自然數(shù)分為1002組，（2，3）（4，5），…（2004，2005），
乙擦去哪個(gè)組的一個(gè)數(shù)，甲接著就擦去同一組的另個(gè)數(shù)，這樣最后剩下的兩個(gè)數(shù)是相鄰的兩個(gè)數(shù)，而相鄰的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)的，
所以甲必勝；

（2）乙必勝的策略：
①當(dāng)甲始終擦去偶數(shù)時(shí)，乙留下一對(duì)不互質(zhì)的奇數(shù)，例如，3和9，而擦去其余的奇數(shù)；
②當(dāng)甲從某一步開(kāi)始擦去奇數(shù)時(shí)，乙可以跟著擦去奇數(shù)，
這樣最后給乙留下的三個(gè)數(shù)有兩種情況，
一種是剩下一個(gè)偶數(shù)和兩個(gè)奇數(shù)3和9，此時(shí)乙擦掉那個(gè)偶數(shù)，
另一種是至少兩個(gè)偶數(shù)，
此時(shí)乙留下兩個(gè)偶數(shù)就可以了．

點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是（1）甲先擦掉2006，保證最后剩下的是兩個(gè)數(shù)為相鄰的數(shù)即可；（2）是看甲如何擦，乙再靈活采取措施，保證剩下的兩個(gè)數(shù)不是互質(zhì)數(shù)．