Question

拿出一張正三角形，將它按如下圖形狀折疊，展開(kāi)后沿折痕剪開(kāi)，就剪出了四個(gè)小正方形，我們把這稱(chēng)為第一次操作；再拿出其中一個(gè)小正三角形，將它同樣也剪成四個(gè)小三角形，我們把它稱(chēng)作第二次操作；再拿出其中一個(gè)小正三角形，將它同樣也剪成四個(gè)小三角形，我們把它稱(chēng)作第三次操作…
（1）根據(jù)操作情況完成下表

操作的次數(shù)	最初	第一次	第二次	第三次	第四次
共有正三角形的個(gè)數(shù)	1	4

（2）假設(shè)這個(gè)操作可以一直繼續(xù)下去，那么n次操作后，一共有

 

個(gè)正三角形．
（3）第

 

次操作后，一共剪出了70個(gè)正三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律

專(zhuān)題：探索數(shù)的規(guī)律

分析：根據(jù)已知第一次操作后得到4個(gè)小正三角形，第二次操作后得到7個(gè)小正三角形；第三次操作后得到10個(gè)小正三角形；…繼而即可求出剪n次時(shí)正三角形的個(gè)數(shù)為3n+1，據(jù)此即可解答問(wèn)題．

解答： 解：（1）（2）由圖可知沒(méi)剪的時(shí)候，有一個(gè)三角形，以后每剪一次就多出三個(gè)，
所以第m次操作后，總的正三角形的個(gè)數(shù)為3m+1．則：
第二次操作后，小正三角形有：3×2+1=7（個(gè)）
第三次操作后，小正三角形有：3×3+1=10（個(gè)）
第四次操作后，小正三角形有：3×4+1=13（個(gè)），由此可以將上表補(bǔ)充完整如下：

操作的次數(shù)	最初	第一次	第二次	第三次	第四次
共有三角形的個(gè)數(shù)	1	4	7	10	13

（3）當(dāng)3m+1=70時(shí)，
         3m=69
          m=23
答：第23次操作后，一共剪出70個(gè)正三角形．
故答案為：（2）3n+1；（3）23．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圖形的變化類(lèi)，根據(jù)已知得出第n次操作后，總的正三角形的個(gè)數(shù)為3n+1是解題關(guān)鍵．