Question

9．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線x²=4$\sqrt{2}$y的焦點(diǎn)相同，點(diǎn)P（1，$\sqrt{2}$）是橢圓C上一點(diǎn)，斜率為$\sqrt{2}$的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且P，M，N三點(diǎn)不重合，求：
（1）橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）△PMN的最大面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓C的方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1，a＞b＞0，由已知得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+2}\end{array}\right.$，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由已知得|MN|=$\sqrt{3}$•|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$•$\sqrt{8-{m}^{2}}$，P到直線l的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{3}}$，由此能求出當(dāng)m=±2時(shí)，△PMN的面積最大值為$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）∵拋物線x²=4$\sqrt{2}$y的焦點(diǎn)為（0，$\sqrt{2}$），
∴設(shè)橢圓C的方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1，a＞b＞0，
∵點(diǎn)P（1，$\sqrt{2}$）是橢圓C是一點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線x²=4$\sqrt{2}$y的焦點(diǎn)相同，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+2}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=2，
∴橢圓C的方程為$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$．
（2）設(shè)直線l的方程為y=$\sqrt{2}$x+m，
與橢圓方程聯(lián)立，得4x²+2$\sqrt{2}$mx+m²-4=0，
由△=-8m²+64＞0，得$\sqrt{2}＜m＜2\sqrt{2}$，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{4}$，
∴|MN|=$\sqrt{3}$•|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$•$\sqrt{8-{m}^{2}}$，
∵P到直線l的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{3}}$，
∴△PMN的面積S=$\frac{\sqrt{2}}{4}•\sqrt{（8-{m}^{2}）{m}^{2}}$≤$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)8-m²=m²，即m=±2時(shí)取等號(hào)，
∴當(dāng)m=±2時(shí)，△PMN的面積最大，最大值為$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．