Question

4．如圖，拋物線y=$\frac{1}{4}$x²-x+1的頂點A在x軸上，與y軸交于B，延長AB至C，使BC=2AB，將拋物線向左平移n個單位，使拋物線與線段AC總有兩個交點，求n的取值范圍．

Answer 1

分析 求出C點坐標(biāo)及函數(shù)值與C點縱坐標(biāo)相等時對應(yīng)的x₁，則n的最大值為x₁與C點橫坐標(biāo)的差，當(dāng)n取得最小值時，拋物線與線段AB相切．

解答 解：當(dāng)y=0時，$\frac{1}{4}$x²-x+1=0，解得x=2；當(dāng)x=0時，y=1，∴A（2，0），B（0，1）．
設(shè)C（x，y），則$\overrightarrow{CB}$=（-x，1-y），$\overrightarrow{BA}$=（2，-1，），∵BC=2AB，∴$\overrightarrow{CB}$=2$\overrightarrow{BA}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x=4}\\{1-y=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=3}\end{array}\right.$．∴C（-4，3）．
令y=3得$\frac{1}{4}$x²-x+1=3，解得x=2-2$\sqrt{3}$或x=2+2$\sqrt{3}$（舍）．
∴n≤2-2$\sqrt{3}$-（-4）=6-2$\sqrt{3}$．
設(shè)y=y=$\frac{1}{4}$x²-x+1向右平移a個單位后與直線AB相切，切點為（x₀，y₀），
則平移后的函數(shù)為y=$\frac{1}{4}$（x-a）²-（x-a）+1，∴y′=$\frac{1}{2}$x$-\frac{a}{2}$-1．直線AB的方程為y=-$\frac{1}{2}$x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}_{0}-\frac{a}{2}-1=-\frac{1}{2}}\\{-\frac{1}{2}{x}_{0}+1={y}_{0}}\\{\frac{1}{4}（{x}_{0}-a）^{2}-（{x}_{0}-a）+1={y}_{0}}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{1}{2}$．
∴n的取值范圍是（-$\frac{1}{2}$，6-2$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查了函數(shù)圖象的平移變換，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．