Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{2}$ax²+bx，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），在區(qū)間[-1，1]內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，求方程f′（x）=0有實(shí)根的概率．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用方程f′（x）=0有實(shí)根，求出a，b滿足的條件，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，求出對(duì)應(yīng)的面積，利用幾何概型的概率公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+bx，
∴f′（x）=x²+ax+b，
若f′（x）=0有實(shí)根，
則判別式△=a²-4b≥0，
即b≤$\frac{1}{4}$a²，
∵-1≤a≤1，-1≤b≤1，
∴不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
則方程f′（x）=0有實(shí)根對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積為S=∫${\;}_{-1}^{1}$[$\frac{1}{4}$a²-（-1）]da=（$\frac{1}{12}$a³+a）|${\;}_{-1}^{1}$=$\frac{13}{6}$，
則正方形ABCD的面積為2×2=4，
則方程f′（x）=0有實(shí)根的概率P=$\frac{\frac{13}{6}}{4}$=$\frac{13}{24}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查幾何概型的概率公式的概率的計(jì)算，根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求出方程f′（x）=0有實(shí)根的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．