Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中直線y=x+1與坐標(biāo)軸交于AB兩點，AB=AC，D、E分別為AC、BC的中點，作∠CDM=45°，AM⊥CM，
（1）求DM的長；
（2）連結(jié)OM，求證：四邊形OMCE為菱形．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）令x=0，則y=1；令y=0，則x=-1，故可得出AB兩點的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理求出AB的長，由AB=AC，D為AC的中點得出AD長，再根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可得出結(jié)論；
（2）連接EM，先根據(jù)相似三角形的判定定理得出△ABC∽△CDM，故可得出∠DCM=∠BCA，再由△BOC是直角三角形，點E是斜邊BC的中點，得出OE=EC，OE∥CM，
∴△BOC是直角三角形，點E是斜邊BC的中點，故可得出∠OEM=∠CME，由OEC是等腰三角形可知故可得出四邊形OMCE是平行四邊形，再根據(jù)OE=CE即可得出結(jié)論．

解答：（1）解：∵令x=0，則y=1；令y=0，則x=-1，
∴A（-1，0），B（0，1），
∴0B=0A=1
∴AB=

OA2+OB2

=

12+12

=

2

，
∵AB=AC，D為AC中點，
∴AD=CD=

1

2

AC=

2

2

，
又∵AM⊥CM，
∴DM=

1

2

AC=

2

2

；

???（2）證明：連接EM，
∵∠BAC=∠CDM=45°且AB：DC=AC：DM=2：1，
∴△ABC∽△CDM，
∴∠DCM=∠BCA
∵△BOC是直角三角形，點E是斜邊BC的中點，
∴OE=EC，
∴∠EOC=∠BCA=∠DCM
∴OE∥CM，
∴∠OEM=∠CME
又∵△OEC是等腰三角形
∴∠OEM=∠CEM=∠CME
∴EC=CM=OE
∴四邊形OMCE是平行四邊形，
又∵OE=CE
∴四邊形OMCE是菱形．

點評：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，熟知一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點、相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定定理等知識是解答此題的關(guān)鍵．