Question

如圖1，在正方形ABCD中，點E是邊BC的中點，過點E作AE的垂線交正方形∠BCD的外角的平分線L于點M，
（1）判斷線段AE、ME的大小關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，連接AM交CD于點N，連接NE，求證：NE=BE+DN；
（3）如圖3，若E點在BC的延長線上，連接AM交射線CD于點N，連接NE，并且NE=13，CN=12，求線段MC的長．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）在AB上截取AM=EC，然后證明∠EAM=FEC，∠AME=∠ECF=135°，再利用“角邊角”證明△AEM和△EFC全等，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可證明；
（2）延長CB到F，使BF=DN，連結(jié)AF，△ABF≌△ADN就可以得出AF=AN，∠BAF=∠DAN，由AE=ME，∠AEM=90°就可以得出∠EAN=45°，就有∠BAE+∠DAN=45°，從而得到∠FAE=∠EAN，再證明△FAE≌△NAE，就可以得出EF=EN．進而可以得出結(jié)論；
（3）連結(jié)AC，在BC上取點F，使BF=DN，由正方形的性質(zhì)就可以得出△ABF≌△ADN，就可以得出AF=AN，∠BAF=∠DAN，就看由得出∠FAE=∠NAE，就可以得出△FAE≌△NAE，就有EF=EN，就可以得出BE=EN+DN，設(shè)BC=CD=x，就有DN=12-x，根據(jù)勾股定理就可以求出CE=5，就可以建立方程求出BC的值，由勾股定理就可以求出AE、AC的值，再由勾股定理就可以求出AM的值，進而求出CM的值．

解答：（1）證明：如圖1，取AB的中點H，連接EH；
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BCD=90°，AB=BC=CD，
∴∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90°，
∴∠1=∠2，
∵E是BC的中點，H是AB的中點，
∴BH=BE，AH=CE，
∴∠BHE=45°，
∵CF是∠DCG的角平分線，
∴∠FCG=45°，
∴∠AHE=∠ECF=135°，
在△AHE和△ECF中，

∠1=∠2 AH=EC ∠AHE=∠ECF

，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
（2）證明：如圖2，延長CB到F，使BF=DN，連結(jié)AF．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=90°，
∴∠ABF=90°．
∴∠ABF=∠D．
∵AE=ME，∠AEM=90°，
∴∠EAN=45°，
∴∠BAE+∠DAN=45°．
在△ABF和△ADN中，

AB=AD ∠ABF=∠D BF=DN

，
∴△ABF≌△ADN（SAS），
∴AF=AN，∠BAF=∠DAN，
∴∠BAE+∠BAF=∠FAE=45°，
∴∠FAE=∠NAE．
在△FAE和△NAE中，

AF=AN ∠FAE=∠NAE AE=AE

，
∴△FAE≌△NAE（SAS），
∴EF=EN．
∵EF=BF+BE，
∴EF=BE+DN，
∴EN=BE+DN；
（3）解：如圖3，連結(jié)AC，在BC上取點F，使BF=DN，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠ABC=∠D=∠BAD=∠BCD=90°，∠BAC=∠ACN=45°．
∴∠DCE=90°．
∵AE=ME，∠AEM=90°，
∴∠EAN=45°，
在△ABF和△ADN中

AB=AD ∠ABC=∠D BF=DN

，
∴△ABF≌△ADN（SAS），
∴AF=AN，∠BAF=∠NAD．
∵∠DAE+∠NAD=45°，
∴∠DAE+∠BAF=45°，
∴∠FAE=45°，
∴∠FAE=∠NAE．
在△FAE和△NAE中

AF=AN ∠FAE=∠NAE AE=AE

，
∴△FAE≌△NAE（SAS），
∴EF=EN．
∵BE=BF+EF，
∴BE=DN+EN．
在Rt△NCE中，CN=12，NE=13，由勾股定理，得
EC=5．
設(shè)BC=CD=x，就有DN=12-x．
∴x+5=13+12-x，
∴x=10．
∴AB=BC=10，BE=15
在Rt△ABC、Rt△ABE中，由勾股定理，得
AC=10

2

，AE=5

13

．
在Rt△AEM中，由勾股定理，得
AM=5

26

．
∵CM平分∠NCE，
∴∠NCM=

1

2

∠NCE=45°，
∴∠NCE+∠ACN=∠ACM=90°．
在Rt△ACM中，由勾股定理，得
CM=15

2

．
答：CM的長為15

2

．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，一元一次方程的解法的運用，解答時運用等腰直角三角形的性質(zhì)和證明三角形的全等是關(guān)鍵．