Question

在平面直角坐標系中，O為原點，點A（2，0），直線l是OA的垂直平分線，點E，點F，點M都在直線l上且點E和點F關于點M對稱．
（1）如圖1，若EA∥OF，請你求出點M的坐標；
（2）若直線EA與直線OF交于點P，點M坐標為（1，-1）；
①當點F坐標為（1，1）時，E的坐標為

 

；
②求點P的坐標；
（3）若第（2）問條件不變，點F在直線l上運動，設點F（1，t），則直線EA與直線OF交于點P的坐標為

 

．（用含t的代數(shù)式表示）

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設OA和l交于點N，根據(jù)條件可證明△OFN≌△AEN，可得ON=NA，結合條件可知N點即為M，由A點的坐標可求得M點的坐標；
（2）①根據(jù)對稱點到對稱中心的距離相等可求得E點坐標；
②可求得直線OF、EA的解析式，聯(lián)立兩解析式可求得P點坐標；
（3）同（2）的方法可先表示出E點的坐標，再求得直線OF、EA的解析式，可解得P的坐標．

解答：解：（1）設OA和l交于點N，
∵OF∥AE，
∴∠FON=∠EAN，
∵l垂直平分OA，
∴ON=AN，
在△OFN和△AEN中，

∠FON=∠EAN ON=AN ∠FNO=∠ANE

，
∴△OFN≌△AEN（ASA），
∴FN=NE，
∵E、E關于M對稱，
∴FM=ME，
∴N點即為M，
∴M點坐標為（1，0）；
（2）①當F點坐標為（1，1），M點坐標為（1，-1），
∴EM=FM=1-（-1）=2，
∴E點坐標為（1，-3），
故答案為：（1，-3）；
②設直線OF為y=kx，由F點坐標為（1，1），可求得k=1，∴直線OF解析式為y=x；
設直線AE為y=mx+n，由A（2，0），E（1，-3），代入可求得m=-3，n=6，∴直線AE解析式為y=3x-6，
聯(lián)立兩函數(shù)解析式可得

y=x y=3x-6

，解得

x=3 y=3

，
∴P點坐標為（3，3）；
（3）設E點坐標為（1，s），
∵F（1，t），M（1，-1），
∴EM=FM=t-（-1）=t+1，
即-1-s=t+1，解得s=-t-2，
∴E點坐標為（1，-t-2），
設直線OF為y=kx，F(xiàn)坐標為（1，t），代入可求得k=t，∴直線OF解析式為y=tx，
設直線AE為y=mx+n，由A（2，0）、E（1，-t-2），代入可求得m=t+2，n=-2t-4，∴直線AE解析式為y=（t+2）x-2t-4，
聯(lián)立兩函數(shù)解析式可得

y=tx y=(t+2)x-2t-4

，解得

x=t+2 y=t2+2t

，
∴P點坐標為（t+2，t²+2t），
故答案為：（t+2，t²+2t）．

點評：本題主要考查垂直平分線及對稱的性質及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)交點坐標等知識的綜合應用，在（1）中確定中M點為OA的中點是解題的關鍵，在（2）中利用對稱的性質求得E點的坐標是解題的關鍵，在（3）中用t表示出兩直線的解析式是解題的關鍵．本題難度不大，屬于基礎知識的綜合，較易得分．