Question

海上有兩個(gè)觀測(cè)站A、B，測(cè)得B站在A站AB=30海里．一艘船C，在A站的正東，在B站的南偏東30°處．此時(shí)船正向正北方向航行，半小時(shí)后達(dá)到D處，此時(shí)測(cè)得船在A站北偏東60°方向，在B站南偏東75°方向．
（1）試畫出D點(diǎn)的位置并求船航行的速度；
（2）求BD的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題

專題：

分析：（1）首先根據(jù)題意作圖，然后由題意可證得△ABC是等邊三角形，然后在Rt△ACD中，利用三角函數(shù)的知識(shí)即可求得CD的長(zhǎng)；
（2）首先過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，由題意可求得∠DBH=45°，∠DCH=30°，然后分別在Rt△CDH和Rt△BDH中，利用三角函數(shù)的知識(shí)即可求得答案．

解答：解：（1）如圖：
∵∠EAB=30°，∠FBC=30°，AE∥BF，
∴∠ABF=∠EAB=30°，
∴∠ABC=∠ABF+∠FBC=60°，
∵∠BAC=90°-∠EAB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=30海里，
在Rt△ACD中，∠DAC=90°-∠EAD=90°-60°=30°，
∴CD=AC•tan30°=10

3

（海里）；
∵半小時(shí)后達(dá)到D處，
∴船航行的速度為：10

3

÷

1

2

=20

3

（海里/時(shí)）；

（2）過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，
∵∠FBD=75°，∠FBC=30°，
∴∠DBH=45°，
∵BF∥CD，
∴∠DCH=∠FBC=30°，
在Rt△CDH中，DH=CD•tan30°=10

3

×

3

3

=10（海里），
在Rt△BDH中，∠DBH=45°，
∴BD=

DH

sin45°

=10

2

（海里）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了方向角問題．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意能構(gòu)造直角三角形并能借助于解直角三角形的知識(shí)求解是解此題的關(guān)鍵．