Question

如圖，已知AC⊥CB，D、E分別為AC、CB的中點，且CD=CE=15，則△BEG的面積為（　�。�

• A、50
• B、60
• C、75
• D、90

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：如圖，連接DE、AB．根據(jù)三角形的面積公式以及圖形推知S_△ACE=S_△BCD，S_△AGB=S_{四邊形CDGE}．然后由三角形中位線的性質(zhì)、相似三角形△DEG∽△BAG的面積的比等于相似比的平方證得
S_△BAG=4S_△DGE，最后利用“分割法”知S_△DCE+S_△DGE+S_△AGB+S_△ADG+S_△BEG=S_△DCE+

1

3

S_△DCE+

4

3

S_△DCE+2S_△BEG=S_△ABC，即2S_△BEG=S_△ABC-

8

3

S_△DCE=150．

解答：解：如圖，連接DE、AB．
∵D、E分別為AC、CB的中點，且CD=CE，
∴AC=2CD，BC=2CE．
又∵AC⊥CB，
∴S_△ACE=

1

2

CE•AC=

1

2

×CE•2CD=CE•CD，S_△BCD=

1

2

CD•BC=

1

2

×CD•2CE=CE•CD，
∴S_△ACE=S_△BCD，
∴S_△ACE-S_{四邊形CDGE}=S_△BCD-S_{四邊形CDGE}，即S_△ADG=S_△BEG．
又∵S_△AEB=S_△ACE（等底同高的兩個三角形的面積相等），
∴S_△AGB=S_{四邊形CDGE}．
∵D、E分別為AC、CB的中點，
∴DE∥AB，

DE

AB

=

1

2

，
∴△DEG∽△BAG，
∴

S△DEG

S△BAG

=(

DE

AB

)2=

1

4

，
∴S_△BAG=4S_△DGE，
∴

1

3

S_△DCE=S_△DGE．
∴S_△DCE+S_△DGE+S_△AGB+S_△ADG+S_△BEG=S_△DCE+

1

3

S_△DCE+

4

3

S_△DCE+2S_△BEG=S_△ABC，即2S_△BEG=S_△ABC-

8

3

S_△DCE=

1

2

×2CE•2CD-

8

3

×

1

2

×CD•CE=

2

3

×15×15=150，
則S_△BEG=75．
故選C．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．解答該題時，注意利用“分割法”來求△BEG的面積．