Question

【題目】在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E是AD邊上的中點(diǎn)，BF平分∠EBC交CD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB交BE于點(diǎn)H，則GH的長(zhǎng)為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

將△ABE繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使AB和BC重合，設(shè)△BCK是旋轉(zhuǎn)后的△ABE，證明BE＝AE+CF，由勾股定理得BE＝，則CF＝BE﹣AE＝﹣1，易證四邊形BCFG與四邊形ADFG都是矩形，得出CF＝BG＝﹣1，GH∥AE，則△BGH∽△BAE，得出，即可得出結(jié)果．

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠BAE＝∠BCD＝90°，

將△ABE繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使AB和BC重合，如圖所示：

設(shè)△BCK是旋轉(zhuǎn)后的△ABE，

∴△ABE≌△CBK，

∴AE＝CK，BE＝BK，∠ABE＝∠CBK，∠BAE＝∠BCK＝90°，

∴K、C、F三點(diǎn)共線，

∵BF是∠EBC的角平分線，

∴∠EBF＝∠FBC，

∴∠ABE+∠EBF＝∠KBC+∠FBC，

∴∠ABF＝∠FBK，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD＝2，AB∥CD，

∴∠ABF＝∠BFK，

∴∠KBF＝∠BFK，

∴BK＝KF，

∵KF＝CK+CF＝AE+CF，BK＝BE，

∴BE＝AE+CF，

∵點(diǎn)E是AD邊上的中點(diǎn)，

∴AE＝AD＝1，

由勾股定理得：BE＝，

∴CF＝BE﹣AE＝﹣1，

∵四邊形ABCD是正方形，FG⊥AB，

∴四邊形BCFG與四邊形ADFG都是矩形，

∴CF＝BG＝﹣1，GH∥AE，

∴△BGH∽△BAE，

∴，即，

∴GH＝，

故選：A．