Question

已知拋物線的對稱軸是直線x=1，在x軸上截得的線段長是4，且過點(diǎn)（1，-2）的直線有一個交點(diǎn)是（2，-3）．
（1）設(shè)拋物線與x軸兩個交點(diǎn)A、B點(diǎn)P在直線上，若△ABP是直角三角形，求P的坐標(biāo)．
（2）若∠ABP是銳角，試確定點(diǎn)P的橫坐標(biāo)取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線的解析式，根據(jù)二次函數(shù)對稱性求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后分①點(diǎn)A在直線上，再分∠ABP=90°時，點(diǎn)P與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相等，∠APB=90°時，△ABP是等腰直角三角形，點(diǎn)P為直線與對稱軸的交點(diǎn)，②點(diǎn)B在直線上同理求解；
（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果解答即可．

解答：解：（1）設(shè)直線解析式為y=kx+b，
則

k+b=-2 2k+b=-3

，
解得

k=-1 b=-1

，
所以，直線解析式為y=-x-1，
∵拋物線的對稱軸是直線x=1，在x軸上截得的線段長是4，
∴點(diǎn)A、B到對稱軸的距離等于

1

2

×4=2，
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為（-1，0）（3，0）或（3，0）（-1，0），
①如圖1，點(diǎn)A在直線上時，若∠ABP=90°，則點(diǎn)P與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相等，為3，
此時，y=-3-1=-4，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，-4），
若∠APB=90°，∵直線AP與x軸的夾角∠BAP=45°，
∴△ABP是等腰直角三角形，
∴點(diǎn)P為直線與對稱軸的交點(diǎn)，
此時，y=-1-1=-2，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-2）；
②如圖2，點(diǎn)B在直線上時，若∠BAP=90°，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，-4），
若∠APB=90°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-2）；

（2）若點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，如圖1，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)取值范圍是x＜3；
若點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊，如圖2，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)取值范圍x＞-1．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的對稱性，直角三角形的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵在于直線恰好經(jīng)過拋物線與x軸的左邊的交點(diǎn)．