Question

如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=2，BC=3，點(diǎn)P是AD上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P異于A、D兩點(diǎn)），Q是BC上任意一點(diǎn)，連結(jié)AQ、DQ，過P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．

（1）填空：△APE∽△　　　　　　，△DPF∽△　　　　　　．

（2）設(shè)AP的長為x，△APE的面積為y₁，△DPF的面積為y₂，分別求出y₂和y₁關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在邊AD上是否存在這樣的點(diǎn)P，使△PEF的面積為？若存在求出x的值；若不存在請說明理由．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】相似形綜合題．

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定定理證明即可；

（2）根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算即可；

（3）根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可．

【解答】解：（1）∵PE∥DQ，

∴△APE∽△ADQ，

∵PF∥AQ，

∴△DPF∽△DAQ，

故答案為：ADQ；DAQ；

（2）設(shè)△ADQ的面積為y，

∴S=×AD×AB=3，

由△APE∽△ADQ得：y₁：y=（）²=，

∴y₁=x²，

同理可得y₂=（3﹣x）²；

（3）∵PE∥DQ，PF∥AQ，

∴四邊形PEQF是平行四邊形，

∴△PEF的面積等于（y﹣y₁﹣y₂）=﹣x²+x

當(dāng)y=時(shí)，則﹣x²+x=，

解這個(gè)方程得：x=，

即存在這樣的點(diǎn)P，當(dāng)x=時(shí)是△PEF的面積為．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的知識(shí)的綜合運(yùn)用，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．